Sistema de ecuaciones: Venta de cruceros

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan el número de personas que van a cada tipo de crucero: - $x$: número de personas que van al crucero **Alegría**. - $y$: número de personas que van al crucero **Belleza**. - $z$: número de personas que van al crucero **Concordia**. A partir del enunciado, extraemos las tres condiciones para formar las ecuaciones: 1. El total de cruceros vendidos es 128: $$x + y + z = 128$$ 2. La recaudación total es de 112.800 euros, con precios de 1500, 600 y 900 euros: $$1500x + 600y + 900z = 112800$$ 3. Por cada persona del crucero Alegría ($x$) hay dos del Concordia ($z$): $$z = 2x \implies 2x - z = 0$$ 💡 **Tip:** Para la relación entre variables, fíjate en quién hay más. Si por cada 1 de Alegría hay 2 de Concordia, significa que Concordia es el doble que Alegría, por tanto $z = 2x$. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 128 \\ 1500x + 600y + 900z = 112800 \\ 2x - z = 0 \end{cases}}$$

Antes de resolver el sistema, es muy recomendable simplificar la segunda ecuación dividiéndola por 300 para trabajar con números más manejables: $$\frac{1500x}{300} + \frac{600y}{300} + \frac{900z}{300} = \frac{112800}{300}$$ $$5x + 2y + 3z = 376$$ Ahora el sistema queda de la siguiente forma: $$\begin{cases} x + y + z = 128 \quad (1) \\ 5x + 2y + 3z = 376 \quad (2) \\ 2x - z = 0 \quad (3) \end{cases}$$

**b) ¿Cuántas personas van a cada tipo de crucero?** Dado que en la ecuación (3) tenemos $z = 2x$, utilizaremos el método de sustitución reemplazando $z$ en las ecuaciones (1) y (2): Sustituyendo en (1): $$x + y + (2x) = 128 \implies 3x + y = 128$$ Sustituyendo en (2): $$5x + 2y + 3(2x) = 376 \implies 5x + 2y + 6x = 376 \implies 11x + 2y = 376$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): $$\begin{cases} 3x + y = 128 \\ 11x + 2y = 376 \end{cases}$$ Despejamos $y$ de la primera ecuación: $$y = 128 - 3x$$ Sustituimos este valor en la segunda: $$11x + 2(128 - 3x) = 376$$ $$11x + 256 - 6x = 376$$ $$5x = 376 - 256$$ $$5x = 120 \implies x = \frac{120}{5} = 24$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas de problemas reales, los resultados suelen ser números enteros positivos. Si obtienes decimales, revisa el planteamiento.

Una vez hallado $x = 24$, calculamos el valor de las otras dos incógnitas: Calculamos **$z$** usando la relación $z = 2x$: $$z = 2(24) = 48$$ Calculamos **$y$** usando $y = 128 - 3x$: $$y = 128 - 3(24) = 128 - 72 = 56$$ Comprobamos que la suma total sea correcta: $24 + 56 + 48 = 128$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Alegría: 24 personas, Belleza: 56 personas, Concordia: 48 personas}}$$