Inferencia estadística: Intervalos de confianza para el consumo de luz

**a) ¿Cuál fue el consumo medio muestral en luz?** En un intervalo de confianza para la media, la media muestral $\bar{x}$ coincide siempre con el punto medio del intervalo. Dado el intervalo $[60,1, 69,9]$, calculamos su centro sumando los extremos y dividiendo entre dos: $$\bar{x} = \frac{60,1 + 69,9}{2} = \frac{130}{2} = 65$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un intervalo de confianza tiene la forma $[\bar{x} - E, \bar{x} + E]$, por lo que $\bar{x}$ es la media aritmética de los límites. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 65 \text{ euros}}$$

**b) ¿Cuál fue la desviación típica?** Primero, identificamos el error máximo permitido $E$, que es la distancia desde la media hasta cualquiera de los extremos del intervalo: $$E = 69,9 - 65 = 4,9$$ Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$ 2. $\alpha/2 = 0,025$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, encontramos que: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2} = 1,96$ es el más habitual para el $95\%$. Conviene memorizarlo para ganar tiempo.

Utilizamos la fórmula del error para una muestra de tamaño $n = 36$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$4,9 = 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{36}} \implies 4,9 = 1,96 \cdot \frac{\sigma}{6}$$ Despejamos la desviación típica $\sigma$: $$4,9 \cdot 6 = 1,96 \cdot \sigma \implies 29,4 = 1,96 \cdot \sigma$$ $$\sigma = \frac{29,4}{1,96} = 15$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma = 15 \text{ euros}}$$

**c) Determinar un intervalo de confianza al 90% para el consumo medio de luz.** Para un nivel de confianza del $90\%$, calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10$ 2. $\alpha/2 = 0,05$ 3. Buscamos $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. En la tabla normal, el valor $0,95$ se encuentra exactamente entre $z = 1,64$ y $z = 1,65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** A mayor nivel de confianza, mayor es el valor de $z_{\alpha/2}$ y, por tanto, más ancho es el intervalo.

Calculamos el nuevo error $E'$ para el $90\%$ con los datos anteriores ($\bar{x}=65$, $\sigma=15$, $n=36$): $$E' = 1,645 \cdot \frac{15}{\sqrt{36}} = 1,645 \cdot \frac{15}{6} = 1,645 \cdot 2,5 = 4,1125$$ El intervalo de confianza es $IC = [\bar{x} - E', \bar{x} + E']$: $$IC = [65 - 4,1125, \; 65 + 4,1125] = [60,8875, \; 69,1125]$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{90\%} = [60,8875, \; 69,1125]}$$