Distribución normal de la vida útil de móviles

Para trabajar con mayor comodidad, lo primero que haremos será unificar las unidades de tiempo a **meses**. Definimos la variable aleatoria: $X = \text{vida útil de un móvil (en meses)}$ Los parámetros de la distribución normal $N(\mu, \sigma)$ son: - Media ($\mu$): $2.5 \text{ años} = 2.5 \cdot 12 = 30 \text{ meses}$. - Desviación típica ($\sigma$): $3 \text{ meses}$. Por tanto, la variable sigue una distribución: $$X \sim N(30, 3)$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable trabajar en las unidades más pequeñas (meses en este caso) para evitar el uso excesivo de decimales y errores de conversión.

**a) Dure más de dos años y nueve meses.** Convertimos el tiempo a meses: $2 \text{ años y } 9 \text{ meses} = (2 \cdot 12) + 9 = 24 + 9 = 33 \text{ meses}$. Buscamos $P(X \gt 33)$. Para resolverlo, tipificamos la variable usando $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \gt 33) = P\left(Z \gt \frac{33 - 30}{3}\right) = P(Z \gt 1)$$ Como las tablas de la normal estándar ofrecen la probabilidad acumulada hacia la izquierda, usamos el suceso contrario: $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscando el valor $1.00$ en la tabla $N(0, 1)$ obtenemos $0.8413$: $$1 - 0.8413 = 0.1587$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 33) = 0.1587}$$

**b) Dure entre dos y tres años.** Convertimos los límites a meses: - Límite inferior: $2 \text{ años} = 24 \text{ meses}$. - Límite superior: $3 \text{ años} = 36 \text{ meses}$. Buscamos $P(24 \lt X \lt 36)$. Tipificamos ambos valores: $$P\left(\frac{24 - 30}{3} \lt Z \lt \frac{36 - 30}{3}\right) = P(-2 \lt Z \lt 2)$$ Aplicamos la propiedad de la probabilidad en un intervalo: $$P(-2 \lt Z \lt 2) = P(Z \lt 2) - P(Z \lt -2)$$ Por simetría, $P(Z \lt -2) = 1 - P(Z \lt 2)$, por lo que: $$P(Z \lt 2) - [1 - P(Z \lt 2)] = 2 \cdot P(Z \lt 2) - 1$$ Buscamos $Z = 2.00$ en la tabla ($0.9772$): $$2 \cdot 0.9772 - 1 = 1.9544 - 1 = 0.9544$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en una distribución normal, el área comprendida entre $\mu - 2\sigma$ y $\mu + 2\sigma$ es aproximadamente el $95.44\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(24 \lt X \lt 36) = 0.9544}$$

**c) Una muestra de 4 de estos móviles tenga una duración media de más de dos años y siete meses y medio.** Cuando tomamos una muestra de tamaño $n$, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Datos para la muestra: - $n = 4$ - $\mu = 30$ - $\sigma_{\bar{x}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$ Por tanto: $$\bar{X} \sim N(30, 1.5)$$ El valor a comparar es $2$ años y $7.5$ meses: $24 + 7.5 = 31.5 \text{ meses}$. 💡 **Tip:** Es fundamental recordar que la variabilidad de la media de un grupo (desviación típica de la muestra) es siempre menor que la variabilidad individual. Por eso dividimos por $\sqrt{n}$.

Buscamos $P(\bar{X} \gt 31.5)$. Tipificamos con la nueva desviación típica: $$P(\bar{X} \gt 31.5) = P\left(Z \gt \frac{31.5 - 30}{1.5}\right) = P\left(Z \gt \frac{1.5}{1.5}\right) = P(Z \gt 1)$$ Como vimos en el apartado a): $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ Curiosamente, la probabilidad de que la media de 4 móviles supere los 31.5 meses es la misma que la de que un solo móvil supere los 33 meses, debido a que el incremento en el valor se compensa con la reducción de la desviación típica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 31.5) = 0.1587}$$