Estudio del tráfico en un peaje de autopista

**a) ¿Es continua esta función? Justificar la respuesta.** Para que la función $N(t)$ sea continua en su dominio $(0, 24]$, debemos comprobar que es continua en cada una de sus ramas y en el punto de salto entre ellas ($t = 9$). 1. **En las ramas individuales:** - La primera rama, $N_1(t) = \left( \frac{t-3}{3} \right)^2 + 2$, es una función polinómica, por lo que es continua en su intervalo de definición $(0, 9]$. - La segunda rama, $N_2(t) = 10 - \left( \frac{t-15}{3} \right)^2$, también es polinómica y continua en $(9, 24]$. 2. **En el punto de salto ($t = 9$):** Comprobamos si el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función coinciden: - **Valor de la función:** $N(9) = \left( \frac{9-3}{3} \right)^2 + 2 = \left( \frac{6}{3} \right)^2 + 2 = 2^2 + 2 = 6$ - **Límite por la izquierda:** $\lim_{t \to 9^-} N(t) = \lim_{t \to 9^-} \left( \left( \frac{t-3}{3} \right)^2 + 2 \right) = 6$ - **Límite por la derecha:** $\lim_{t \to 9^+} N(t) = \lim_{t \to 9^+} \left( 10 - \left( \frac{t-15}{3} \right)^2 \right) = 10 - \left( \frac{9-15}{3} \right)^2 = 10 - (-2)^2 = 10 - 4 = 6$ Como $\lim_{t \to 9^-} N(t) = \lim_{t \to 9^+} N(t) = N(9) = 6$, la función es continua en $t = 9$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en todo su dominio } (0, 24]}$$

**b) ¿Entre qué horas aumentó el número de vehículos que pasaba por el peaje? Justificar la respuesta.** Para saber cuándo aumenta la función, calculamos su derivada $N'(t)$ para estudiar el crecimiento (monotonía). Usamos la regla de la cadena: $$N'(t) = \begin{cases} 2 \cdot \left( \frac{t-3}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} & \text{si } 0 \lt t \lt 9 \\ -2 \cdot \left( \frac{t-15}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} & \text{si } 9 \lt t \lt 24 \end{cases}$$ Simplificando las expresiones: $$N'(t) = \begin{cases} \frac{2}{9}(t-3) & \text{si } 0 \lt t \lt 9 \\ \frac{2}{9}(15-t) & \text{si } 9 \lt t \lt 24 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $N'(t) \gt 0$, la función es creciente (el número de vehículos aumenta).

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: - En la primera rama: $t - 3 = 0 \implies t = 3$. - En la segunda rama: $15 - t = 0 \implies t = 15$. Analizamos el signo de $N'(t)$ en los intervalos determinados por estos puntos y el salto en $t=9$: $$\begin{array}{c|cccc} t & (0, 3) & 3 & (3, 9) & 9 & (9, 15) & 15 & (15, 24)\\ \hline N'(t) & - & 0 & + & 4/9 & + & 0 & -\\ \hline \text{Función} & \searrow & \min & \nearrow & \text{cont.} & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - En $(3, 9)$, $N'(t) = \frac{2}{9}(t-3) \gt 0$. - En $(9, 15)$, $N'(t) = \frac{2}{9}(15-t) \gt 0$. 💡 **Tip:** Aunque hay un cambio de definición en $t=9$, la derivada es positiva a ambos lados (de hecho, $N'(9^-) = 4/3$ y $N'(9^+) = 4/3$, por lo que es derivable), así que la función crece de forma continua desde $t=3$ hasta $t=15$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El número de vehículos aumentó entre las 3:00 h y las 15:00 h}}$$

**c) ¿A qué hora pasó el mayor número de vehículos? ¿Cuántos fueron?** Según el estudio de la monotonía del apartado anterior, la función tiene un máximo relativo en $t = 15$. Para asegurar que es el máximo absoluto, comparamos su valor con los extremos del intervalo y el punto de salto: - Al inicio (límite cuando $t \to 0$): $N(0^+) = \left( \frac{0-3}{3} \right)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$ vehículos. - En el mínimo local ($t = 3$): $N(3) = 2$ vehículos. - En el máximo local ($t = 15$): $N(15) = 10 - \left( \frac{15-15}{3} \right)^2 = 10$ vehículos. - Al final ($t = 24$): $N(24) = 10 - \left( \frac{24-15}{3} \right)^2 = 10 - 3^2 = 1$ vehículo. El valor más alto se alcanza a las $t = 15$ horas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo fue de 10 vehículos a las 15:00 h}}$$