Optimización de producción de pérgolas

**a) Plantear el problema para hallar el número de pérgolas de ambos tipos que ha de fabricar el ebanista para maximizar los beneficios.** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan lo que queremos calcular: - $x$: número de pérgolas tipo celosía. - $y$: número de pérgolas tipo gran sombrilla. Ahora, organizamos la información en una tabla para identificar las restricciones y la función objetivo: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{Celosía } (x) & \text{Sombrilla } (y) & \text{Disponibilidad} \\ \hline \text{Madera Teca (m}^2) & 32 & 25 & 3200 \\ \hline \text{Madera Pino (m}^2) & 16 & 25 & 2000 \\ \hline \text{Beneficio (€)} & 800 & 900 & \text{Maximizar} \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Siempre es útil organizar los datos en tablas para no olvidar ninguna restricción. El problema consiste en maximizar la función de beneficio $Z(x, y) = 800x + 900y$, sujeta a las siguientes restricciones: $$\begin{cases} 32x + 25y \le 3200 \quad \text{(Teca)} \\ 16x + 25y \le 2000 \quad \text{(Pino)} \\ x \ge 0, \, y \ge 0 \quad \text{(No negatividad)} \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Planteamiento):** $$\boxed{\text{Max } Z(x, y) = 800x + 900y \text{ s.a. } \begin{cases} 32x + 25y \le 3200 \\ 16x + 25y \le 2000 \\ x, y \ge 0 \end{cases}}$$

Para visualizar la solución, representamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos la región factible (zona común que cumple todas las inecuaciones). 1. **Recta de la Teca ($r_1$):** $32x + 25y = 3200$ - Si $x=0 \implies y = 3200/25 = 128 \implies (0, 128)$ - Si $y=0 \implies x = 3200/32 = 100 \implies (100, 0)$ 2. **Recta del Pino ($r_2$):** $16x + 25y = 2000$ - Si $x=0 \implies y = 2000/25 = 80 \implies (0, 80)$ - Si $y=0 \implies x = 2000/16 = 125 \implies (125, 0)$ Como las inecuaciones son de tipo $\le$ y las variables son positivas, la región factible es el polígono delimitado por los ejes y estas rectas en el primer cuadrante.

Los vértices de la región factible son los puntos donde se cruzan las restricciones. Los candidatos a solución óptima son: - **$A(0, 0)$**: Origen. - **$B(100, 0)$**: Intersección de $r_1$ con el eje $X$ (ya calculado). - **$C(0, 80)$**: Intersección de $r_2$ con el eje $Y$ (ya calculado). - **$D(x, y)$**: Intersección entre $r_1$ y $r_2$. Resolvemos el sistema para hallar el punto **$D$**: $$\begin{cases} 32x + 25y = 3200 \\ 16x + 25y = 2000 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera para eliminar $y$: $$(32x - 16x) + (25y - 25y) = 3200 - 2000$$ $$16x = 1200 \implies x = \frac{1200}{16} = 75$$ Sustituimos $x = 75$ en la segunda ecuación: $$16(75) + 25y = 2000$$ $$1200 + 25y = 2000 \implies 25y = 800 \implies y = \frac{800}{25} = 32$$ El vértice de intersección es **$D(75, 32)$**.

**b) ¿Cuál es la solución óptima?** Evaluamos la función de beneficios $Z(x, y) = 800x + 900y$ en cada uno de los vértices de la región factible: - $Z(0, 0) = 800(0) + 900(0) = 0\,€$ - $Z(100, 0) = 800(100) + 900(0) = 80000\,€$ - $Z(0, 80) = 800(0) + 900(80) = 72000\,€$ - $Z(75, 32) = 800(75) + 900(32) = 60000 + 28800 = 88800\,€$ El valor máximo se alcanza en el punto $(75, 32)$. 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, el óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices de la región factible o en un segmento de su frontera. ✅ **Resultado (Solución óptima):** $$\boxed{\text{Fabricar 75 pérgolas de celosía y 32 de gran sombrilla para un beneficio máximo de 88.800 euros.}}$$