Contraste de hipótesis para la media

**a) Con una significación del 1 %, ¿se puede aceptar la afirmación inicial?** Primero, identificamos los datos del problema y definimos el contraste de hipótesis. Queremos comprobar si la media poblacional $\mu$ es, como máximo, 15 minutos. Datos: - Media poblacional bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 15$ min. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 5$ min. - Tamaño de la muestra: $n = 49$. - Media muestral: $\bar{x} = 16,5$ min. - Nivel de significación: $\alpha = 0,01$. Planteamos las hipótesis: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu \le 15$ (La afirmación es cierta). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \gt 15$ (Se tarda más de lo afirmado). Se trata de un **contraste unilateral derecho**. 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, $H_0$ suele ser la afirmación de igualdad o "estatus quo". Como nos dicen "como máximo", incluimos el signo $\le$ en la hipótesis nula.

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z_{exp}$, que nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media teórica: $$Z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{exp} = \frac{16,5 - 15}{5 / \sqrt{49}} = \frac{1,5}{5 / 7} = \frac{1,5}{0,7143} \approx 2,1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el denominador $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es el error típico de la media. En este caso, $5/7 \approx 0,7143$. $$\boxed{Z_{exp} = 2,1}$$

Para un nivel de significación $\alpha = 0,01$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \gt z_{\alpha}) = 0,01 \implies P(Z \le z_{\alpha}) = 0,99$$ Consultando la tabla de la Normal $N(0, 1)$: $$z_{0,01} = 2,33$$ La **región de aceptación** es el intervalo $(-\infty, 2,33]$ y la **región crítica** (o de rechazo) es $(2,33, +\infty)$. Comparamos el estadístico con el valor crítico: $$Z_{exp} = 2,1 \lt z_{0,01} = 2,33$$ Como el valor experimental cae dentro de la región de aceptación, **aceptamos la hipótesis nula**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A un nivel del 1 %, se puede aceptar la afirmación inicial.}}$$

**b) ¿Qué ocurre si el nivel de significación es igual a 0,1?** Repetimos el proceso ajustando el nivel de riesgo. Ahora $\alpha = 0,1$. Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha}$ para un contraste unilateral derecho: $$P(Z \gt z_{\alpha}) = 0,10 \implies P(Z \le z_{\alpha}) = 0,90$$ Buscando en la tabla de la Normal $N(0, 1)$: $$z_{0,1} = 1,28$$ Comparamos nuevamente el estadístico calculado (que no varía) con este nuevo valor crítico: $$Z_{exp} = 2,1 \gt z_{0,1} = 1,28$$ En este caso, el estadístico **cae en la región crítica** (rechazo de $H_0$). 💡 **Tip:** Al aumentar el nivel de significación (de 0,01 a 0,1), somos "más exigentes" y es más fácil rechazar la hipótesis nula porque la región de aceptación se hace más pequeña. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \alpha = 0,1, \text{ se rechaza la afirmación inicial.}}$$