Distribución de la media muestral de la duración de baterías

Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como la duración de las baterías de una tablet. Según el enunciado: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(9, 2)$$ Al tomar una muestra aleatoria de tamaño $n = 16$, la **media muestral** $\bar{X}$ también sigue una distribución normal, pero con una desviación típica (error estándar) reducida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. La distribución de la media muestral es: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$\bar{X} \sim N\left(9, \frac{2}{\sqrt{16}}\right) = N\left(9, \frac{2}{4}\right) = N(9; 0,5)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para problemas de muestras, la desviación típica que debes usar no es la de la población ($\sigma$), sino la de la media muestral ($\sigma_{\bar{X}} = \sigma / \sqrt{n}$).

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías esté entre 7 horas y media y 9 horas y media?** Debemos calcular $P(7,5 \le \bar{X} \le 9,5)$. Para ello, tipificamos la variable usando $Z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$: $$P(7,5 \le \bar{X} \le 9,5) = P\left(\frac{7,5 - 9}{0,5} \le Z \le \frac{9,5 - 9}{0,5}\right)$$ $$P(-3 \le Z \le 1)$$ Descomponemos la probabilidad de un intervalo: $$P(Z \le 1) - P(Z \le -3)$$ Como la distribución es simétrica, $P(Z \le -3) = 1 - P(Z \le 3)$: $$P(Z \le 1) - [1 - P(Z \le 3)]$$ Buscamos los valores en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1) = 0,8413$ - $P(Z \le 3) = 0,9987$ Sustituimos: $$0,8413 - (1 - 0,9987) = 0,8413 - 0,0013 = 0,84$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(7,5 \le \bar{X} \le 9,5) = 0,84}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías sea mayor de 10 horas?** Queremos hallar $P(\bar{X} \gt 10)$. Tipificamos de nuevo: $$P(\bar{X} \gt 10) = P\left(Z \gt \frac{10 - 9}{0,5}\right) = P(Z \gt 2)$$ Como las tablas suelen dar la probabilidad acumulada hacia la izquierda, usamos el suceso contrario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $Z = 2$: - $P(Z \le 2) = 0,9772$ Calculamos la diferencia: $$1 - 0,9772 = 0,0228$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(X \gt a) = 1 - P(X \le a)$ en distribuciones continuas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 10) = 0,0228}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías sea menor de 8 horas?** Buscamos $P(\bar{X} \lt 8)$. Tipificamos: $$P(\bar{X} \lt 8) = P\left(Z \lt \frac{8 - 9}{0,5}\right) = P(Z \lt -2)$$ Por simetría de la campana de Gauss, la probabilidad a la izquierda de $-2$ es la misma que a la derecha de $2$: $$P(Z \lt -2) = P(Z \gt 2)$$ Y como calculamos en el apartado anterior: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$ 💡 **Tip:** No necesitas buscar valores negativos en la tabla si dominas las propiedades de simetría: $P(Z \lt -a) = 1 - P(Z \le a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \lt 8) = 0,0228}$$