Optimización y estudio de una función de costos

**a) ¿Cuándo se maximizan los costos? ¿Cuándo se minimizan?** Para encontrar los máximos y mínimos, primero debemos calcular la derivada de la función $G(t)$ e igualarla a cero para encontrar los puntos críticos dentro del intervalo $[1, 6]$. La función es: $G(t) = t^3 - 10.5t^2 + 30t - 12$. Calculamos su derivada: $$G'(t) = 3t^2 - 21t + 30$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$3t^2 - 21t + 30 = 0$$ Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación por $3$: $$t^2 - 7t + 10 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $$t_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad t_2 = \frac{4}{2} = 2$$ Ambos valores, **$t=2$** y **$t=5$**, pertenecen al intervalo de estudio $[1, 6]$. 💡 **Tip:** Los extremos de una función en un intervalo cerrado pueden estar en los puntos donde la derivada es cero o en los extremos del propio intervalo ($t=1$ y $t=6$).

**b) ¿Cuándo aumentan y cuándo disminuyen?** Para saber cuándo aumentan o disminuyen los costos, estudiamos el signo de la primera derivada $G'(t)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[1, 6]$. Los intervalos a estudiar son: $(1, 2)$, $(2, 5)$ y $(5, 6)$. $$ \begin{array}{c|ccccc} t & (1,2) & 2 & (2,5) & 5 & (5,6) \\ \hline G'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline G(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ - En $(1, 2)$, tomamos $t=1.5$: $G'(1.5) = 3(1.5)^2 - 21(1.5) + 30 = 6.75 - 31.5 + 30 = 5.25 \gt 0$. La función **aumenta**. - En $(2, 5)$, tomamos $t=3$: $G'(3) = 3(3)^2 - 21(3) + 30 = 27 - 63 + 30 = -6 \lt 0$. La función **disminuye**. - En $(5, 6)$, tomamos $t=5.5$: $G'(5.5) = 3(5.5)^2 - 21(5.5) + 30 = 90.75 - 115.5 + 30 = 5.25 \gt 0$. La función **aumenta**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aumentan en } (1, 2) \cup (5, 6) \text{ y disminuyen en } (2, 5)}$$

Para responder al apartado **a)** con precisión, debemos comparar los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo $[1, 6]$. Calculamos $G(t)$ en $t=1, 2, 5, 6$: - $G(1) = 1^3 - 10.5(1)^2 + 30(1) - 12 = 1 - 10.5 + 30 - 12 = 8.5$ - $G(2) = 2^3 - 10.5(2)^2 + 30(2) - 12 = 8 - 42 + 60 - 12 = 14$ - $G(5) = 5^3 - 10.5(5)^2 + 30(5) - 12 = 125 - 262.5 + 150 - 12 = 0.5$ - $G(6) = 6^3 - 10.5(6)^2 + 30(6) - 12 = 216 - 378 + 180 - 12 = 6$ Comparando los valores: - El valor máximo es $14$ (en $t=2$). - El valor mínimo es $0.5$ (en $t=5$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo a los 2 años y mínimo a los 5 años}}$$

**c) ¿Cuáles son los costos al inicio y al final del periodo en estudio?** El inicio corresponde a $t=1$ y el final a $t=6$. Ya hemos calculado estos valores en el paso anterior, pero vamos a expresarlos en las unidades correctas (cientos de miles de euros). **Al inicio ($t=1$):** $$G(1) = 8.5 \text{ cientos de miles de euros} = 850.000 \text{ €}$$ **Al final ($t=6$):** $$G(6) = 6 \text{ cientos de miles de euros} = 600.000 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** No olvides multiplicar por $100.000$ para dar la respuesta final en euros si el enunciado especifica las unidades de la función. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Inicio: } 850.000 \text{ €; Final: } 600.000 \text{ €}}$$