Sistema de ecuaciones: Distribución de pasajeros en un crucero

**a) Plantear el sistema de ecuaciones para determinar cuántos paquetes de cada tipo integran el crucero.** Primero, definimos las variables que representarán las incógnitas del problema. En este caso, el número de paquetes de cada tipo: - $x$: número de paquetes de tipo **individual**. - $y$: número de paquetes de tipo **pareja**. - $z$: número de paquetes de tipo **grupo familiar**. A continuación, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. **Total de pasajeros:** Sabiendo que cada paquete individual tiene 1 pasajero, cada pareja 2 y cada familia 4: $$1x + 2y + 4z = 2400$$ 2. **Total recaudado:** Multiplicamos el número de paquetes por su respectiva tarifa: $$800x + 1200y + 1600z = 1264000$$ 3. **Relación de pasajeros:** Los pasajeros individuales ($x$) son el 20% (0,2) de la suma de los pasajeros de pareja ($2y$) y familiares ($4z$): $$x = 0,2(2y + 4z)$$ 💡 **Tip:** Es fundamental distinguir entre el número de "paquetes" y el número de "pasajeros" al plantear las ecuaciones para no cometer errores en los coeficientes. El sistema de ecuaciones planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + 2y + 4z = 2400 \\ 800x + 1200y + 1600z = 1264000 \\ x = 0,2(2y + 4z) \end{cases}}$$

Antes de resolver, simplificamos las ecuaciones para facilitar los cálculos. - La segunda ecuación la dividimos entre 400: $$\frac{800x}{400} + \frac{1200y}{400} + \frac{1600z}{400} = \frac{1264000}{400} \implies 2x + 3y + 4z = 3160$$ - La tercera ecuación la multiplicamos por 5 para eliminar el decimal: $$5x = 2y + 4z \implies 5x - 2y - 4z = 0$$ El sistema simplificado queda: $$\begin{cases} (1) \quad x + 2y + 4z = 2400 \\ (2) \quad 2x + 3y + 4z = 3160 \\ (3) \quad 5x - 2y - 4z = 0 \end{cases}$$

**b) Determinar la distribución de los pasajeros en los tres tipos de tarifa.** Podemos usar el método de sustitución u observar que en las ecuaciones (1) y (3) aparece el término $2y+4z$. De la ecuación (3) sabemos que $2y + 4z = 5x$. Sustituimos este valor en la ecuación (1): $$x + (2y + 4z) = 2400$$ $$x + 5x = 2400$$ $$6x = 2400 \implies x = \frac{2400}{6} = 400$$ Ya tenemos el número de paquetes individuales: **$x = 400$**. 💡 **Tip:** Si observas bloques de variables idénticos en distintas ecuaciones, la sustitución suele ser mucho más rápida que el método de Gauss.

Sustituimos $x = 400$ en las ecuaciones simplificadas (1) y (2) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: De (1): $400 + 2y + 4z = 2400 \implies 2y + 4z = 2000 \implies y + 2z = 1000$ (dividiendo entre 2). De (2): $2(400) + 3y + 4z = 3160 \implies 800 + 3y + 4z = 3160 \implies 3y + 4z = 2360$. Resolvemos por reducción multiplicando la primera por $-2$: $$\begin{cases} -2y - 4z = -2000 \\ 3y + 4z = 2360 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(-2y + 3y) + (-4z + 4z) = -2000 + 2360$$ $$y = 360$$ Ahora despejamos $z$ de $y + 2z = 1000$: $$360 + 2z = 1000 \implies 2z = 640 \implies z = 320$$ Por tanto, los paquetes son: **$x = 400$**, **$y = 360$**, **$z = 320$**.

El enunciado pide la **distribución de los pasajeros** (no de los paquetes). Calculamos cuántos pasajeros corresponden a cada tarifa: - **Tarifa individual:** $1 \cdot x = 1 \cdot 400 = 400$ pasajeros. - **Tarifa de pareja:** $2 \cdot y = 2 \cdot 360 = 720$ pasajeros. - **Tarifa familiar:** $4 \cdot z = 4 \cdot 320 = 1280$ pasajeros. Comprobamos que la suma total es $400 + 720 + 1280 = 2400$ pasajeros. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Individual: } 400 \text{ pasajeros} \\ &\text{Pareja: } 720 \text{ pasajeros} \\ &\text{Familiar: } 1280 \text{ pasajeros} \end{aligned}}$$