Probabilidad y Estadística 2014 Canarias
Probabilidad total y Teorema de Bayes: Marcas de gofio
En un comercio se vende gofio de tres marcas (A, B y C) en paquetes de un kilogramo. Dos séptimas partes son de la marca A, cinco novenas partes son de la marca B y el resto es de la marca C. A veces algún paquete de gofio presenta defectos que no lo hacen apto para su comercialización. Esto ocurre en el 0,3% de la marca A, en el 0,5 % de la marca B y en el 0,4% de la marca C. Si un cliente del comercio elige al azar un paquete de gofio,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga defectos?
b) Si presenta defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?
Paso 1
Definición de eventos y diagrama de árbol
**a) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga defectos?**
Primero, definimos los sucesos del problema:
- $A$: El paquete es de la marca A.
- $B$: El paquete es de la marca B.
- $C$: El paquete es de la marca C.
- $D$: El paquete presenta defectos.
- $\bar{D}$: El paquete no presenta defectos (es apto).
Calculamos la probabilidad de la marca C sabiendo que la suma de las tres marcas debe ser la unidad:
$$P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - \frac{2}{7} - \frac{5}{9}$$
Buscamos el denominador común ($7 \times 9 = 63$):
$$P(C) = 1 - \frac{18}{63} - \frac{35}{63} = \frac{63 - 18 - 35}{63} = \frac{10}{63}$$
Las probabilidades de tener defectos (pasadas a decimal) son:
$P(D|A) = 0,3\% = 0,003$
$P(D|B) = 0,5\% = 0,005$
$P(D|C) = 0,4\% = 0,004$
Representamos la situación en un diagrama de árbol:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no tener defectos
Para calcular la probabilidad de que un paquete no tenga defectos $P(\bar{D})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(\bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(B) \cdot P(\bar{D}|B) + P(C) \cdot P(\bar{D}|C)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(\bar{D}) = \left(\frac{2}{7} \cdot 0,997\right) + \left(\frac{5}{9} \cdot 0,995\right) + \left(\frac{10}{63} \cdot 0,996\right)$$
Para facilitar el cálculo, expresamos todo con denominador $63$:
$$P(\bar{D}) = \frac{18 \cdot 0,997 + 35 \cdot 0,995 + 10 \cdot 0,996}{63}$$
$$P(\bar{D}) = \frac{17,946 + 34,825 + 9,96}{63} = \frac{62,731}{63}$$
$$P(\bar{D}) \approx 0,9957$$
💡 **Tip:** El suceso de no tener defectos $\bar{D}$ es el complementario de tener defectos $D$. A veces es más corto calcular $P(D)$ y restar $1 - P(D)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{D}) \approx 0,9957}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
Nos piden calcular la probabilidad de que sea de la marca B dado que presenta defectos, es decir, $P(B|D)$.
Utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(B|D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{P(B) \cdot P(D|B)}{P(D)}$$
Primero necesitamos $P(D)$. Podemos usar el resultado anterior:
$$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - \frac{62,731}{63} = \frac{0,269}{63}$$
Ahora calculamos el numerador $P(B) \cdot P(D|B)$:
$$P(B) \cdot P(D|B) = \frac{5}{9} \cdot 0,005 = \frac{0,025}{9} = \frac{0,175}{63}$$
Finalmente, calculamos $P(B|D)$:
$$P(B|D) = \frac{\frac{0,175}{63}}{\frac{0,269}{63}} = \frac{0,175}{0,269} \approx 0,6506$$
💡 **Tip:** En el Teorema de Bayes, cuando los denominadores de las probabilidades son iguales (en este caso 63), puedes trabajar directamente con los numeradores para simplificar.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B|D) \approx 0,6506}$$