Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) Construir un intervalo de confianza, con un nivel del 95%, para estimar la proporción de alumnos repetidores.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 200$ - Número de alumnos repetidores: $x = 30$ Calculamos la proporción muestral de alumnos repetidores ($\hat{p}$) y su complementaria ($\hat{q}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{30}{200} = 0,15$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,15 = 0,85$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el número de éxitos dividido por el total de la muestra. Representa nuestra mejor estimación puntual de la realidad.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$ 3. Calculamos $\alpha/2 = 0,025$ 4. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,025 = 0,975$$ Mirando en las tablas de la distribución Normal, encontramos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,645$ (para el $90\%$), $1,96$ (para el $95\%$) y $2,575$ (para el $99\%$).

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,15 \cdot 0,85}{200}} = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,1275}{200}}$$ $$E = 1,96 \cdot \sqrt{0,0006375} \approx 1,96 \cdot 0,025248 \approx 0,0495$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0,15 - 0,0495 = 0,1005$ - Extremo superior: $0,15 + 0,0495 = 0,1995$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0,1005; \, 0,1995)}$$

**b) Si se ignoran los datos iniciales, con un nivel de confianza del 90%, ¿cuál es el tamaño mínimo muestral para estimar la proporción de alumnos repetidores con un error máximo del 2%?** Identificamos los nuevos requisitos: - Nivel de confianza: $90\% \implies 1 - \alpha = 0,90 \implies z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,95$. Consultando la tabla: $z_{\alpha/2} = 1,645$. - Error máximo admitido: $E = 2\% = 0,02$. - **Ignorar datos iniciales:** Cuando no tenemos una proporción previa, usamos el caso de máxima varianza, que ocurre cuando $p = q = 0,5$. 💡 **Tip:** Si el enunciado dice que se ignoran los datos o no se conoce la proporción, siempre se utiliza $p = 0,5$ para garantizar que el tamaño de la muestra sea suficiente en cualquier escenario.

Utilizamos la fórmula del error para despejar el tamaño muestral ($n$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1,645)^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{(0,02)^2}$$ $$n = \frac{2,706025 \cdot 0,25}{0,0004} = \frac{0,67650625}{0,0004}$$ $$n = 1691,265625$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** del $2\%$, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n \ge 1692 \text{ alumnos}}$$