Análisis de la altura de agua en un depósito

**a) ¿Es continua? ¿Es derivable? ¿Cuándo crece y cuándo decrece $h(t)$?** Para estudiar la continuidad de la función $h(t)$, debemos analizar el punto donde cambia la definición de la rama, que es en $t=3$. En los intervalos $(0, 3)$ y $(3, 7)$, las funciones son polinómicas y, por tanto, continuas. Comprobamos el punto $t = 3$: 1. Valor de la función: $h(3) = \frac{(3 - 1)^2}{4} + 1 = \frac{4}{4} + 1 = 2$. 2. Límite por la izquierda ($t \to 3^-$): $$\lim_{t \to 3^-} h(t) = \lim_{t \to 3^-} \left( \frac{(t - 1)^2}{4} + 1 \right) = \frac{2^2}{4} + 1 = 2.$$ 3. Límite por la derecha ($t \to 3^+$): $$\lim_{t \to 3^+} h(t) = \lim_{t \to 3^+} \left( \frac{7}{4} - \frac{t - 4}{4} \right) = \frac{7}{4} - \frac{3 - 4}{4} = \frac{7}{4} + \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2.$$ Como $h(3) = \lim_{t \to 3^-} h(t) = \lim_{t \to 3^+} h(t) = 2$, no hay salto entre las ramas. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en ese punto coinciden. ✅ **La función $h(t)$ es continua en el intervalo $[0, 7]$.**

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$h'(t) = \begin{cases} \frac{2(t - 1)}{4} = \frac{t - 1}{2} & \text{si } 0 \lt t \lt 3 \\ -\frac{1}{4} & \text{si } 3 \lt t \lt 7 \end{cases}$$ Ahora evaluamos las derivadas laterales en el punto crítico $t = 3$: - Derivada por la izquierda: $h'(3^-) = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. - Derivada por la derecha: $h'(3^+) = -\frac{1}{4}$. Como $h'(3^-) \neq h'(3^+)$, la función tiene un punto anguloso en $t = 3$. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua y, además, sus derivadas laterales en dicho punto deben ser iguales. ✅ **La función es derivable en $(0, 7) \setminus \{3\}$. No es derivable en $t = 3$.**

Para ver cuándo crece o decrece, estudiamos el signo de $h'(t)$. Buscamos los puntos donde $h'(t) = 0$: En la primera rama: $\frac{t - 1}{2} = 0 \implies t = 1$. En la segunda rama: $h'(t) = -1/4$, que nunca es cero y siempre es negativa. Analizamos los signos en los intervalos definidos por $t=0, t=1, t=3, t=7$: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, 7) \\ \hline h'(t) & - & 0 & + & \nexists & - \\ \hline h(t) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - **Decrece** en el intervalo $(0, 1) \cup (3, 7)$. - **Crece** en el intervalo $(1, 3)$. 💡 **Tip:** Si $h'(t) \gt 0$, la función crece. Si $h'(t) \lt 0$, la función decrece. ✅ **Crece en $(1, 3)$ y decrece en $(0, 1) \cup (3, 7)$.**

**b) ¿Cuáles son las alturas máximas y mínimas? ¿En qué momentos?** Debemos comparar los valores de la función en los extremos del dominio ($t=0, t=7$), en los puntos singulares ($t=1$) y en los puntos donde no es derivable ($t=3$): - $h(0) = \frac{(0 - 1)^2}{4} + 1 = 1.25$ metros. - $h(1) = \frac{(1 - 1)^2}{4} + 1 = 1$ metro. - $h(3) = 2$ metros (calculado anteriormente). - $h(7) = \frac{7}{4} - \frac{7 - 4}{4} = \frac{7}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$ metro. Comparando los valores: - El valor máximo es $2$ y ocurre en $t = 3$. - El valor mínimo es $1$ y ocurre en $t = 1$ y en $t = 7$. ✅ **Máximo: 2 metros a las 3 horas. Mínimo: 1 metro a la 1 hora y a las 7 horas.**

**c) ¿Cuándo la altura del depósito es igual a un metro?** Resolvemos la ecuación $h(t) = 1$ para cada rama: 1. Primera rama ($0 \le t \le 3$): $$\frac{(t - 1)^2}{4} + 1 = 1 \implies \frac{(t - 1)^2}{4} = 0 \implies (t - 1)^2 = 0 \implies t = 1.$$ 2. Segunda rama ($3 \lt t \le 7$): $$\frac{7}{4} - \frac{t - 4}{4} = 1 \implies \frac{7 - (t - 4)}{4} = 1 \implies 7 - t + 4 = 4 \implies 11 - t = 4 \implies t = 7.$$ 💡 **Tip:** Al resolver ecuaciones en funciones a trozos, asegúrate siempre de que la solución obtenida pertenece al intervalo de definición de dicha rama. ✅ **La altura es de 1 metro a la 1 hora ($t=1$) y a las 7 horas ($t=7$).**