Optimización de la producción de bizcochos

**a) Plantear un problema que controle la fabricación de bizcochos maximizando los ingresos.** Primero definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de bizcochos de tipo **suave** a fabricar. - $y$: número de bizcochos de tipo **duro** a fabricar. La función que queremos maximizar es el **Ingreso Total ($I$)**, que depende del precio de venta de cada tipo: $$I(x, y) = 6x + 4,5y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre deben representar cantidades reales y positivas en este tipo de problemas de fabricación.

Debemos unificar las unidades. Como las existencias están en kg, pasamos los gramos a kilogramos ($1000 \text{ g} = 1 \text{ kg}$): - Suave: $0,25 \text{ kg}$ harina y $0,25 \text{ kg}$ nata. - Duro: $0,4 \text{ kg}$ harina y $0,1 \text{ kg}$ nata. Las restricciones vienen dadas por la disponibilidad de ingredientes: 1. **Harina:** $0,25x + 0,4y \le 160$ 2. **Nata:** $0,25x + 0,1y \le 100$ 3. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ (no se pueden fabricar bizcochos negativos). El problema completo de programación lineal es: $$\text{Maximizar } I(x, y) = 6x + 4,5y$$ $$\text{Sujeto a: }\begin{cases} 0,25x + 0,4y \le 160 \\ 0,25x + 0,1y \le 100 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado del planteamiento:** $$\boxed{\begin{matrix} \max I(x,y) = 6x + 4,5y \\ \text{s.a.} \begin{cases} 0,25x + 0,4y \le 160 \\ 0,25x + 0,1y \le 100 \\ x, y \ge 0 \end{cases} \end{matrix}}$$

**b) ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada tipo para maximizar los ingresos?** Para resolverlo, representamos las rectas correspondientes a las restricciones para hallar la **región factible**: - **Recta 1 (Harina):** $0,25x + 0,4y = 160$ - Si $x=0 \implies 0,4y = 160 \implies y = 400 \to (0, 400)$ - Si $y=0 \implies 0,25x = 160 \implies x = 640 \to (640, 0)$ - **Recta 2 (Nata):** $0,25x + 0,1y = 100$ - Si $x=0 \implies 0,1y = 100 \implies y = 1000 \to (0, 1000)$ - Si $y=0 \implies 0,25x = 100 \implies x = 400 \to (400, 0)$ La región factible es el polígono convexo formado por la intersección de estos semiplanos en el primer cuadrante.

Los vértices de la región factible son: - $A(0, 0)$ - $B(0, 400)$ (Intersección de Recta 1 con eje Y) - $D(400, 0)$ (Intersección de Recta 2 con eje X) - $C(x, y)$ (Intersección de Recta 1 y Recta 2) Calculamos $C$ resolviendo el sistema: $$\begin{cases} 0,25x + 0,4y = 160 \\ 0,25x + 0,1y = 100 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera: $$(0,25x - 0,25x) + (0,4y - 0,1y) = 160 - 100$$ $$0,3y = 60 \implies y = \frac{60}{0,3} = 200$$ Sustituimos $y=200$ en la segunda ecuación: $$0,25x + 0,1(200) = 100 \implies 0,25x + 20 = 100$$ $$0,25x = 80 \implies x = \frac{80}{0,25} = 320$$ El vértice de intersección es **$C(320, 200)$**.

Evaluamos $I(x, y) = 6x + 4,5y$ en cada vértice para encontrar el máximo: - $A(0, 0): I(0, 0) = 6(0) + 4,5(0) = 0 \text{ €}$ - $B(0, 400): I(0, 400) = 6(0) + 4,5(400) = 1800 \text{ €}$ - $C(320, 200): I(320, 200) = 6(320) + 4,5(200) = 1920 + 900 = 2820 \text{ €}$ - $D(400, 0): I(400, 0) = 6(400) + 4,5(0) = 2400 \text{ €}$ El valor máximo es de $2820 \text{ €}$ y se alcanza en el punto $(320, 200)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el óptimo se encuentra siempre en un vértice de la región factible. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 320 bizcochos suaves y 200 bizcochos duros}}$$