Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (0.75 puntos) Efectúe la operación $A \cdot B^t$.** En primer lugar, necesitamos obtener la traspuesta de la matriz $B$, denotada como $B^t$. Para trasponer una matriz, intercambiamos sus filas por sus columnas. Si $B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$, entonces: $$B^t = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una matriz tiene dimensiones $m \times n$, su traspuesta tendrá dimensiones $n \times m$. En este caso, al ser una matriz cuadrada $2 \times 2$, el tamaño se mantiene igual.

Ahora multiplicamos la matriz $A$ por la matriz $B^t$ recién calculada: $$A \cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento (1,1): $2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) = 6 - 2 = 4$ - Elemento (1,2): $2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 = 2 + 4 = 6$ - Elemento (2,1): $3 \cdot 3 + (-2) \cdot (-2) = 9 + 4 = 13$ - Elemento (2,2): $3 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 = 3 - 8 = -5$ 💡 **Tip:** El elemento de la fila $i$ y columna $j$ del resultado se obtiene multiplicando la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot B^t = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 13 & -5 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.75 puntos) Determine la matriz $X$ tal que $A + 2 \cdot X = B$.** Para hallar $X$, primero debemos despejarla de la ecuación de la misma forma que haríamos con una ecuación de primer grado, teniendo cuidado con el orden si hubiera multiplicaciones entre matrices (que no es el caso aquí): $$A + 2X = B$$ $$2X = B - A$$ $$X = \frac{1}{2}(B - A)$$ 💡 **Tip:** En las sumas y restas de matrices, el orden no importa (propiedad conmutativa), pero en la multiplicación sí. Aquí solo restamos y dividimos por un escalar, así que operamos con normalidad.

Calculamos primero la resta $B - A$: $$B - A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2 & -2-1 \\ 1-3 & 4-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por el escalar $\frac{1}{2}$ (o lo que es lo mismo, dividimos cada elemento por $2$): $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -3/2 \\ -2/2 & 6/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0,5 & -1,5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}}$$

**c) (1 punto) Halle la matriz $Y$ tal que $B \cdot Y = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$.** Observamos que $B$ es una matriz $2 \times 2$ y el resultado es un vector columna $2 \times 1$. Por tanto, $Y$ debe ser un vector columna de dimensiones $2 \times 1$. Sea $Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$. Planteamos el sistema de ecuaciones: $$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$$ Esto genera el siguiente sistema: $$\begin{cases} 3y_1 - 2y_2 = 6 \\ y_1 + 4y_2 = 9 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Podríamos resolverlo calculando $B^{-1}$ y haciendo $Y = B^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$, pero para sistemas $2 \times 2$ suele ser más rápido y menos propenso a errores utilizar métodos de reducción o sustitución.

Resolvemos por el método de reducción. Multiplicamos la segunda ecuación por $-3$ para eliminar $y_1$: $$\begin{cases} 3y_1 - 2y_2 = 6 \\ -3y_1 - 12y_2 = -27 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(3y_1 - 3y_1) + (-2y_2 - 12y_2) = 6 - 27$$ $$-14y_2 = -21$$ $$y_2 = \frac{-21}{-14} = \frac{3}{2} = 1,5$$ Sustituimos $y_2$ en la segunda ecuación original: $$y_1 + 4(1,5) = 9$$ $$y_1 + 6 = 9 \implies y_1 = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 3 \\ 1,5 \end{pmatrix}}$$