Optimización de la rentabilidad de un plan de inversión

**a) (1 punto) Determine qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad.** Para hallar el máximo de la función rentabilidad $R(x)$, debemos calcular su derivada y encontrar los puntos críticos donde $R'(x) = 0$. La función es $R(x) = -0.001x^2 + 0.5x + 2.5$ en el dominio $1 \leq x \leq 500$. Derivamos la función: $$R'(x) = -0.001 \cdot 2x + 0.5 = -0.002x + 0.5$$ Ahora igualamos a cero para encontrar el valor de $x$: $$-0.002x + 0.5 = 0 \implies 0.002x = 0.5$$ $$x = \frac{0.5}{0.002} = 250$$ Como $x = 250$ se encuentra dentro del intervalo de inversión permitido $[1, 500]$, es un candidato a máximo. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un polinomio $ax^n$ es $n \cdot a \cdot x^{n-1}$.

Para confirmar que en $x = 250$ hay un máximo relativo, estudiamos el signo de $R'(x)$ en el intervalo de definición $[1, 500]$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (1, 250) & 250 & (250, 500)\\\hline R'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ - Si $x \lt 250$, por ejemplo $x=100$: $R'(100) = -0.002(100) + 0.5 = 0.3 \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - Si $x \gt 250$, por ejemplo $x=300$: $R'(300) = -0.002(300) + 0.5 = -0.1 \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. Al pasar de creciente a decreciente, confirmamos que existe un máximo absoluto en $x = 250$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben invertir 250 mil euros}}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Qué rentabilidad se obtendría con dicha inversión?** Para conocer la rentabilidad, sustituimos el valor $x = 250$ en la función original $R(x)$: $$R(250) = -0.001(250)^2 + 0.5(250) + 2.5$$ $$R(250) = -0.001(62500) + 125 + 2.5$$ $$R(250) = -62.5 + 125 + 2.5$$ $$R(250) = 65$$ Dado que $R(x)$ se expresa en miles de euros, la rentabilidad obtenida es de **65 mil euros**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La rentabilidad máxima es de 65 mil euros}}$$

**c) (1 punto) ¿Cuál es la cantidad de dinero para la que se obtiene menor rentabilidad?** Al tratarse de una función continua en un intervalo cerrado $[1, 500]$, y habiendo un único máximo relativo en su interior, el valor mínimo debe encontrarse necesariamente en uno de los dos extremos del intervalo: $x = 1$ o $x = 500$. Calculamos la rentabilidad en $x = 1$: $$R(1) = -0.001(1)^2 + 0.5(1) + 2.5 = -0.001 + 0.5 + 2.5 = 2.999 \text{ miles de euros}$$ Calculamos la rentabilidad en $x = 500$: $$R(500) = -0.001(500)^2 + 0.5(500) + 2.5$$ $$R(500) = -0.001(250000) + 250 + 2.5$$ $$R(500) = -250 + 250 + 2.5 = 2.5 \text{ miles de euros}$$ Comparamos los valores: $$2.5 \lt 2.999$$ La menor rentabilidad se obtiene invirtiendo la cantidad máxima permitida, $x = 500$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización en intervalos cerrados, comprueba siempre los extremos del dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La menor rentabilidad se obtiene con una inversión de 500 mil euros}}$$