Probabilidad condicionada: El ilusionista

**a) (1 punto) Un ilusionista tiene seis cartas: cuatro ases y dos reyes. Saca una carta, la enseña al público y, sin verla, la vuelve a mezclar con las demás. A continuación saca una segunda carta que resulta ser un as. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido también un as?** Primero, definimos los sucesos para mayor claridad: - $A_1$: Sacar un as en la primera extracción. - $R_1$: Sacar un rey en la primera extracción. - $A_2$: Sacar un as en la segunda extracción. - $R_2$: Sacar un rey en la segunda extracción. En este apartado, hay **reemplazamiento** (se vuelve a mezclar). Esto significa que la composición de la baraja no cambia para la segunda extracción. Las probabilidades son: - $P(A_1) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ - $P(R_1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ Como se devuelve la carta, las probabilidades de la segunda extracción son idénticas a la primera, independientemente de lo que saliera antes.

Nos piden la probabilidad de que la primera fuera un as, sabiendo que la segunda fue un as: $P(A_1 | A_2)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada (o Teorema de Bayes): $$P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)}$$ 1. Calculamos la probabilidad total de sacar un as en la segunda: $P(A_2)$. $$P(A_2) = P(A_1 \cap A_2) + P(R_1 \cap A_2)$$ $$P(A_2) = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$ 2. Calculamos la probabilidad condicionada: $$P(A_1 | A_2) = \frac{4/9}{2/3} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** En experimentos con reemplazamiento, los sucesos son independientes. Saber qué salió en la segunda extracción no aporta información nueva sobre la primera, por eso $P(A_1 | A_2) = P(A_1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A_1 | A_2) = \frac{2}{3} \approx 0.6667}$$

**b) (1.5 puntos) Si el ilusionista no devolviera la primera carta a la baraja y la segunda carta extraída fuera un as, ¿cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido también un as?** Ahora, al **no haber reemplazamiento**, la segunda extracción depende de lo que ocurrió en la primera. - Si la primera fue un as ($A_1$), en la baraja quedan 5 cartas (3 ases y 2 reyes). - Si la primera fue un rey ($R_1$), en la baraja quedan 5 cartas (4 ases y 1 rey).

Queremos hallar $P(A_1 | A_2)$ usando el Teorema de Bayes. 1. Calculamos la probabilidad de que la segunda sea as, $P(A_2)$, usando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) + P(R_1) \cdot P(A_2 | R_1)$$ $$P(A_2) = \left(\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5}\right) + \left(\frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5}\right) = \frac{12}{30} + \frac{8}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$$ 2. Aplicamos la fórmula de Bayes para hallar la probabilidad de que la primera fuera as sabiendo que la segunda lo fue: $$P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{12/30}{20/30}$$ $$P(A_1 | A_2) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$ 💡 **Tip:** En problemas de 'probabilidad a posteriori' (sabiendo lo que pasó al final, preguntar qué pasó al principio), siempre usamos el Teorema de Bayes: $\frac{\text{rama favorable}}{\text{suma de todas las ramas que terminan en ese suceso}}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A_1 | A_2) = \frac{3}{5} = 0.6}$$