Contraste de hipótesis para la media poblacional

**EJERCICIO 4 (2.5 puntos) La talla media de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media 170 cm y desviación típica 6 cm. Estudios recientes hacen sospechar que dicha talla media ha aumentado. Para confirmar, o no, esa sospecha se ha tomado una muestra de 64 estudiantes de esa Universidad, cuya talla media ha resultado ser de 172 cm. Con un nivel de significación del 1%, plantee un contraste de hipótesis ($H_0 : \mu \leq 170$), determine la región crítica de ese contraste y razone si se puede concluir que la talla media poblacional ha aumentado.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Media poblacional bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 170$ cm. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 6$ cm. - Tamaño de la muestra: $n = 64$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 172$ cm. - Nivel de significación: $\alpha = 0.01$ (1%). Planteamos el contraste de hipótesis. Como la sospecha es que la talla media ha **aumentado**, estamos ante un contraste **unilateral derecho**: - Hipótesis nula ($H_0$): $\mu \leq 170$ (La talla media no ha aumentado). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu \gt 170$ (La talla media ha aumentado). 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis alternativa ($H_1$) suele ser aquello que se quiere demostrar o la sospecha del investigador. $$\boxed{H_0: \mu \leq 170 \quad \text{frente a} \quad H_1: \mu \gt 170}$$

Puesto que la población sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ seguirá una distribución Normal de parámetros: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Bajo el supuesto de que $H_0$ sea cierta (tomando el valor límite $\mu = 170$): $$\bar{X} \sim N\left(170, \frac{6}{\sqrt{64}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{6}{8} = 0.75$$ Por tanto: $$\bar{X} \sim N(170, \, 0.75)$$ 💡 **Tip:** La desviación típica de la media muestral disminuye conforme aumenta el tamaño de la muestra ($n$).

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor $z_\alpha$ tal que la probabilidad a su derecha sea $0.01$: $$P(Z \gt z_\alpha) = 0.01$$ Esto equivale a buscar en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor que deja a su izquierda una probabilidad de $1 - 0.01 = 0.99$: $$P(Z \leq z_\alpha) = 0.99$$ Buscando en las tablas de la distribución Normal estándar: Para una probabilidad de $0.9901$, el valor es $z = 2.33$. Para una probabilidad de $0.9898$, el valor es $z = 2.32$. Usualmente se toma el valor aproximado: $$z_\alpha = 2.33$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_\alpha$ marca la frontera entre la zona de aceptación y la zona de rechazo (región crítica).

La región crítica ($RC$) para la media muestral en un contraste unilateral derecho viene dada por: $$RC = (\bar{x}_c, \, +\infty)$$ Donde el valor crítico $\bar{x}_c$ se calcula como: $$\bar{x}_c = \mu_0 + z_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$\bar{x}_c = 170 + 2.33 \cdot 0.75$$ $$\bar{x}_c = 170 + 1.7475 = 171.7475$$ Por lo tanto, la región crítica es el intervalo: $$\boxed{RC = (171.7475, \, +\infty)}$$ Si la media de nuestra muestra cae dentro de este intervalo, rechazaremos la hipótesis nula.

Comparamos la media muestral obtenida en el estudio con la región crítica: - Media muestral observada: $\bar{x} = 172$. - Región Crítica: $(171.7475, \, +\infty)$. Dado que $172 \gt 171.7475$, observamos que la media de la muestra **pertenece a la región crítica** ($172 \in RC$). **Conclusión:** Al nivel de significación del $1\%$, existen evidencias estadísticas suficientes para **rechazar la hipótesis nula** ($H_0$). Por lo tanto, se puede concluir que la sospecha es correcta y que la talla media poblacional de los alumnos de la universidad **ha aumentado**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0. \text{ La talla media ha aumentado.}}$$