Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (2 puntos) Represente gráficamente la región factible definida por las siguientes restricciones:** **$$4x + 2y \geq 5 \quad 2x + 5y \leq 10 \quad 2x + 2y \leq 6 \quad x \geq 0 \quad y \geq 0$$** **y calcule sus vértices.** Para representar la región, primero convertimos las inecuaciones en ecuaciones de rectas. Buscaremos dos puntos para cada una para poder dibujarlas: 1. **$r_1: 4x + 2y = 5$** - Si $x = 0 \implies 2y = 5 \implies y = 2.5$. Punto $(0, 2.5)$ - Si $y = 0 \implies 4x = 5 \implies x = 1.25$. Punto $(1.25, 0)$ 2. **$r_2: 2x + 5y = 10$** - Si $x = 0 \implies 5y = 10 \implies y = 2$. Punto $(0, 2)$ - Si $y = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5$. Punto $(5, 0)$ 3. **$r_3: 2x + 2y = 6$** - Si $x = 0 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. Punto $(0, 3)$ - Si $y = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$. Punto $(3, 0)$ 4. **$x = 0$** (Eje Y) y **$y = 0$** (Eje X). 💡 **Tip:** Para saber hacia qué lado de la recta está la solución, sustituimos el punto $(0,0)$ en la inecuación. Si se cumple, el semiplano es el que contiene al origen; si no, es el contrario.

Al comprobar los semiplanos y las restricciones de no negatividad ($x \geq 0, y \geq 0$), observamos que el eje Y ($x=0$) no forma parte de la frontera de la región factible porque al sustituir $x=0$ en $r_1$ y $r_2$ obtenemos una contradicción ($y \geq 2.5$ y $y \leq 2$ simultáneamente). Calculamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: - **Vértice A (Cruce $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} 4x + 2y = 5 \\ 2x + 5y = 10 \end{cases} \implies \text{Multiplicamos la 2ª por -2} \implies \begin{cases} 4x + 2y = 5 \\ -4x - 10y = -20 \end{cases}$$ Sumando: $-8y = -15 \implies y = \frac{15}{8} = 1.875$. Sustituyendo: $4x + 2(1.875) = 5 \implies 4x + 3.75 = 5 \implies 4x = 1.25 \implies x = 0.3125$. **$A(0.3125, 1.875)$** o $A\left(\frac{5}{16}, \frac{15}{8}\right)$. - **Vértice B (Cruce $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases} \implies \text{Restando} \implies 3y = 4 \implies y = \frac{4}{3} \approx 1.33$$ $2x + 2(4/3) = 6 \implies 2x = 18/3 - 8/3 \implies 2x = 10/3 \implies x = \frac{5}{3} \approx 1.67$. **$B(1.67, 1.33)$** o $B\left(\frac{5}{3}, \frac{4}{3}\right)$. - **Vértice C (Cruce $r_3$ con el eje X):** $2x + 2(0) = 6 \implies x = 3$. **$C(3, 0)$**. - **Vértice D (Cruce $r_1$ con el eje X):** $4x + 2(0) = 5 \implies x = 1.25$. **$D(1.25, 0)$**. ✅ **Vértices calculados:** $$\boxed{A(0.3125, 1.875), \quad B(1.67, 1.33), \quad C(3, 0), \quad D(1.25, 0)}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo $F(x, y) = x + 2y$ en la región anterior y los puntos donde se alcanzan.** Para hallar el máximo y el mínimo en una región factible acotada, evaluamos la función objetivo $F(x, y)$ en cada uno de los vértices calculados: 1. En **$A(0.3125, 1.875)$**: $F(0.3125, 1.875) = 0.3125 + 2(1.875) = 0.3125 + 3.75 = 4.0625$ 2. En **$B(5/3, 4/3)$**: $F(5/3, 4/3) = \frac{5}{3} + 2\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{5}{3} + \frac{8}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.333$ 3. En **$C(3, 0)$**: $F(3, 0) = 3 + 2(0) = 3$ 4. En **$D(1.25, 0)$**: $F(1.25, 0) = 1.25 + 2(0) = 1.25$ 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el óptimo se encuentra en un vértice o en un segmento de la frontera. Comparando los resultados: - El valor máximo es **4.333** y se alcanza en el punto **$B(5/3, 4/3)$**. - El valor mínimo es **1.25** y se alcanza en el punto **$D(1.25, 0)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 13/3 \text{ en } B(5/3, 4/3); \quad \text{Mínimo: } 1.25 \text{ en } D(1.25, 0)}$$