Derivabilidad de una función a trozos y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Halle los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la función es derivable en $x = -1$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Una función es continua en $x = -1$ si el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función coinciden: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1)$$ Calculamos los límites laterales en el punto de salto entre ramas: - Límite por la izquierda ($x \lt -1$): $$\lim_{x \to -1^-} \frac{1}{2}(ax - 12) = \frac{1}{2}(a(-1) - 12) = \frac{-a - 12}{2}$$ - Límite por la derecha y valor de la función ($x \geq -1$): $$f(-1) = \lim_{x \to -1^+} -x^2 + b(x - 1) = -(-1)^2 + b(-1 - 1) = -1 - 2b$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$\frac{-a - 12}{2} = -1 - 2b$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$-a - 12 = -2 - 4b \implies -a + 4b = 10 \implies a - 4b = -10 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es una condición necesaria pero no suficiente para la derivabilidad. Si no es continua, no puede ser derivable.

Una vez impuesta la continuidad, para que sea derivable en $x = -1$, las derivadas laterales deben ser iguales: $$f'(-1^-) = f'(-1^+)$$ Primero, calculamos la función derivada en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}a & \text{si } x \lt -1 \\ -2x + b & \text{si } x \gt -1 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = -1$: - Derivada por la izquierda: $$f'(-1^-) = \frac{a}{2}$$ - Derivada por la derecha: $$f'(-1^+) = -2(-1) + b = 2 + b$$ Igualamos las derivadas laterales: $$\frac{a}{2} = 2 + b \implies a = 4 + 2b \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función. En la primera rama, la derivada de $\frac{1}{2}(ax-12)$ es $\frac{1}{2} \cdot a$.

Resolvemos el sistema formado por la **Ecuación 1** y la **Ecuación 2**: 1) $a - 4b = -10$ 2) $a = 4 + 2b$ Sustituimos la expresión de $a$ de la segunda ecuación en la primera: $$(4 + 2b) - 4b = -10$$ $$4 - 2b = -10 \implies -2b = -14 \implies b = 7$$ Ahora calculamos $a$ sustituyendo $b = 7$ en la segunda ecuación: $$a = 4 + 2(7) = 4 + 14 = 18$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 18, \quad b = 7}$$

**b) (1 punto) Para $a = 1$ y $b = -1$ obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = -2$.** Como $x = -2 \lt -1$, trabajaremos con la primera rama de la función: $$f(x) = \frac{1}{2}(1x - 12) = \frac{x - 12}{2}$$ Necesitamos dos datos: 1. **El punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$:** $$x_0 = -2 \implies f(-2) = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ El punto es $(-2, -7)$. 2. **La pendiente de la recta tangente ($m = f'(x_0)$):** Derivamos la primera rama: $$f'(x) = \frac{1}{2}$$ Como es una constante, $f'(-2) = \frac{1}{2}$. 💡 **Tip:** Si la función en ese intervalo es una recta, la pendiente de la tangente será siempre la misma que la pendiente de la recta original.

Utilizamos la fórmula de la recta punto-pendiente: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$y - (-7) = \frac{1}{2}(x - (-2))$$ $$y + 7 = \frac{1}{2}(x + 2)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y = \frac{1}{2}x + 1 - 7$$ $$y = \frac{1}{2}x - 6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{1}{2}x - 6}$$