Probabilidad de lectura de diarios y condicionada

**a) (1.25 puntos) ¿Qué porcentaje de habitantes de esta ciudad no lee ninguno de los diarios?** Primero, definimos los sucesos principales y traducimos los porcentajes del enunciado a probabilidades (dividiendo entre 100): - $A$: El habitante lee el diario A. $P(A) = 30\% = 0.30$ - $B$: El habitante lee el diario B. $P(B) = 13\% = 0.13$ - $A \cap B$: El habitante lee ambos diarios. $P(A \cap B) = 6\% = 0.06$ Para visualizar mejor la situación y calcular el resto de probabilidades, construimos una **tabla de contingencia** completando los huecos mediante restas y sumas: $$\begin{array}{c|c|c|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\\hline A & 0.06 & 0.24 & 0.30 \\\hline \bar{A} & 0.07 & 0.63 & 0.70 \\\hline \text{Total} & 0.13 & 0.87 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En estas tablas, los totales de las filas y columnas deben sumar 1. Por ejemplo, si $P(A) = 0.30$, entonces $P(\bar{A}) = 1 - 0.30 = 0.70$.

Buscamos la probabilidad de que no ocurra ni el suceso $A$ ni el suceso $B$, es decir, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$. Podemos obtener este dato directamente de nuestra tabla de contingencia (la celda que cruza $\bar{A}$ con $\bar{B}$) o aplicar las **Leyes de De Morgan**: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$$ Calculamos primero la unión (personas que leen al menos un diario): $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0.30 + 0.13 - 0.06 = 0.37$$ Ahora hallamos el complementario: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.37 = 0.63$$ Para dar la respuesta en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.63 \cdot 100 = 63\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{63\% \text{ de los habitantes no lee ninguno de los diarios}}$$

**b) (1.25 puntos) Si se elige al azar un habitante de esta ciudad de entre los no lectores del diario B, ¿cuál es la probabilidad de que lea el diario A?** Este apartado nos pide una **probabilidad condicionada**. Queremos saber la probabilidad de que lea el diario A sabiendo que no lee el diario B. Esto se denota como $P(A | \bar{B})$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(A | \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$ Obtenemos los valores necesarios de la tabla de contingencia o calculándolos: - $P(A \cap \bar{B}) = 0.24$ (Lectores de A que no leen B) - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.13 = 0.87$ (Habitantes que no leen B) Sustituimos en la fórmula: $$P(A | \bar{B}) = \frac{0.24}{0.87} = \frac{24}{87}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 3: $$P(A | \bar{B}) = \frac{8}{29} \approx 0.2759$$ 💡 **Tip:** Lee con atención el enunciado; "de entre los no lectores de B" nos indica que nuestro nuevo total (el denominador) es el conjunto $\bar{B}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | \bar{B}) = \frac{8}{29} \approx 0.2759}$$