Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicación por los estudiantes.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado sobre la población y la muestra: - La variable $X$: "tiempo en horas dedicado al uso de la aplicación" sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.5$ horas. - Tamaño de la muestra: $n = 10$. Calculamos la media muestral $\bar{x}$ sumando los valores obtenidos y dividiendo por el total de datos: $$\bar{x} = \frac{3.5 + 4.25 + 2.25 + 3.75 + 4.2 + 2.75 + 1.25 + 1.2 + 1.75 + 2.1}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{26.75}{10} = 2.675 \text{ horas}$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el estimador puntual de la media poblacional. Asegúrate de sumar con cuidado todos los decimales. $$\boxed{\bar{x} = 2.675}$$

Para un nivel de confianza del $90\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10$ 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.05$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad a su izquierda sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, vemos que el valor $0.95$ se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no está en la tabla, se suele realizar la media aritmética de los dos valores más cercanos (interpolación). $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.645}$$

El intervalo de confianza para la media se define como: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{10}} = 1.645 \cdot \frac{0.5}{3.1623} = 1.645 \cdot 0.1581 \approx 0.26$$ Ahora, construimos el intervalo restando y sumando este error a la media muestral: - Extremo inferior: $2.675 - 0.26 = 2.415$ - Extremo superior: $2.675 + 0.26 = 2.935$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (2.415, \, 2.935)}$$

**b) (1 punto) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicación, para un error de estimación no superior a 0.1 horas y mismo nivel de confianza anterior.** Datos para este apartado: - Error máximo: $E \le 0.1$ - Nivel de confianza: $90\% \implies z_{\alpha/2} = 1.645$ - Desviación típica: $\sigma = 0.5$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Queremos que: $$1.645 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{n}} \le 0.1$$ Despejamos $n$ en la desigualdad: $$\frac{0.8225}{\sqrt{n}} \le 0.1 \implies \frac{0.8225}{0.1} \le \sqrt{n} \implies 8.225 \le \sqrt{n}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para despejar la incógnita de una raíz, debemos elevar ambos miembros al cuadrado. $$n \ge (8.225)^2 \implies n \ge 67.650625$$

Puesto que el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y debe ser mayor o igual que $67.65$, redondeamos siempre al siguiente número entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al solicitado. $$n = 68$$ ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 68 \text{ estudiantes}}$$