Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (0.8 puntos) Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la matriz resultante: $A \cdot B^t \quad C^t \cdot D \quad B^t \cdot D \quad D \cdot B^t$** Para que un producto de matrices $M \cdot N$ sea posible, el número de columnas de la primera matriz ($M$) debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz ($N$). Si $M$ es de dimensión $m \times n$ y $N$ es de dimensión $n \times p$, la matriz resultante será de dimensión $m \times p$. Identificamos las dimensiones de las matrices dadas: - $A$ es $3 \times 3$. - $B$ es $2 \times 3 \implies B^t$ es $3 \times 2$. - $C$ es $1 \times 2 \implies C^t$ es $2 \times 1$. - $D$ es $1 \times 3 \implies D^t$ es $3 \times 1$. Analizamos cada producto: 1. **$A \cdot B^t$**: $(3 \times \mathbf{3}) \cdot (\mathbf{3} \times 2)$. Es **posible** porque $3=3$. Dimensión: **$3 \times 2$**. 2. **$C^t \cdot D$**: $(2 \times \mathbf{1}) \cdot (\mathbf{1} \times 3)$. Es **posible** porque $1=1$. Dimensión: **$2 \times 3$**. 3. **$B^t \cdot D$**: $(3 \times \mathbf{2}) \cdot (\mathbf{1} \times 3)$. **No es posible** porque $2 \neq 1$. 4. **$D \cdot B^t$**: $(1 \times \mathbf{3}) \cdot (\mathbf{3} \times 2)$. Es **posible** porque $3=3$. Dimensión: **$1 \times 2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz traspuesta se obtiene intercambiando filas por columnas, por lo que si una matriz es $m \times n$, su traspuesta es $n \times m$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot B^t: 3 \times 2, \quad C^t \cdot D: 2 \times 3, \quad B^t \cdot D: \text{No posible}, \quad D \cdot B^t: 1 \times 2}$$

**b) (0.5 puntos) Despeje la matriz $X$ en la ecuación $X \cdot A^{-1} + 2B = 3C^t \cdot D$, sin calcular sus elementos.** Para despejar $X$, debemos realizar los pasos algebraicos con cuidado, recordando que el orden en la multiplicación de matrices importa (no es conmutativa). 1. Restamos $2B$ en ambos lados de la ecuación: $$X \cdot A^{-1} = 3C^t \cdot D - 2B$$ 2. Para eliminar $A^{-1}$, multiplicamos por la derecha por la matriz $A$ en ambos lados de la igualdad (ya que $A^{-1} \cdot A = I$): $$(X \cdot A^{-1}) \cdot A = (3C^t \cdot D - 2B) \cdot A$$ 3. Aplicamos la propiedad asociativa y la definición de matriz identidad ($X \cdot I = X$): $$X \cdot (A^{-1} \cdot A) = (3C^t \cdot D - 2B) \cdot A$$ $$X \cdot I = (3C^t \cdot D - 2B) \cdot A$$ 💡 **Tip:** Es fundamental multiplicar por el mismo lado en ambos miembros. Como la inversa está a la derecha de $X$, multiplicamos por $A$ por la derecha. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = (3C^t \cdot D - 2B) \cdot A}$$

**c) (1.2 puntos) Calcule la matriz $A \cdot (B^t - 2D^t \cdot C)$.** Primero vamos a calcular el término $2D^t \cdot C$. $D^t$ es un vector columna $3 \times 1$ y $C$ es un vector fila $1 \times 2$, por lo que el resultado será una matriz $3 \times 2$. $$D^t \cdot C = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot (2 \quad 1) = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 \\ -1 \cdot 2 & -1 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el escalar $2$: $$2D^t \cdot C = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -4 & -2 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de un vector columna por un vector fila resulta en una matriz (producto externo).

Calculamos ahora la resta dentro del paréntesis: $(B^t - 2D^t \cdot C)$. Obtenemos $B^t$ transponiendo $B$: $$B^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta: $$B^t - 2D^t \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -4 & -2 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & 1-2 \\ 2-(-4) & -2-(-2) \\ 1-8 & 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 6 & 0 \\ -7 & -4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para restar matrices, deben tener la misma dimensión y se restan elemento a elemento.

Finalmente, multiplicamos la matriz $A$ por el resultado obtenido anteriormente: $$A \cdot (B^t - 2D^t \cdot C) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 6 & 0 \\ -7 & -4 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1)(-3) + (-1)(6) + (2)(-7) = -3 - 6 - 14 = -23$ $(1)(-1) + (-1)(0) + (2)(-4) = -1 + 0 - 8 = -9$ - Fila 2: $(0)(-3) + (1)(6) + (-1)(-7) = 0 + 6 + 7 = 13$ $(0)(-1) + (1)(0) + (-1)(-4) = 0 + 0 + 4 = 4$ - Fila 3: $(1)(-3) + (0)(6) + (2)(-7) = -3 + 0 - 14 = -17$ $(1)(-1) + (0)(0) + (2)(-4) = -1 + 0 - 8 = -9$ 💡 **Tip:** En la multiplicación de matrices, el elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{pmatrix} -23 & -9 \\ 13 & 4 \\ -17 & -9 \end{pmatrix}}$$