Estudio de la vida de la mosca común

**a) (1 punto) Determine la vida máxima que puede alcanzar la mosca común.** Para hallar la vida máxima, debemos encontrar el valor de $T$ que maximiza la función $V(T)$ en el intervalo $[4, 36]$. Para ello, calculamos primero su derivada $V'(T)$. Dada la función: $$V(T) = \frac{-1}{16}(T^2 - 40T + 16)$$ Derivamos la expresión (tratando el $-1/16$ como una constante multiplicativa): $$V'(T) = \frac{-1}{16}(2T - 40)$$ Simplificando la expresión: $$V'(T) = \frac{-2T + 40}{16} = \frac{-T + 20}{8}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una función multiplicada por una constante $k \cdot f(x)$, la derivada es $k \cdot f'(x)$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$V'(T) = 0 \implies \frac{-T + 20}{8} = 0 \implies -T + 20 = 0 \implies T = 20$$ Comprobamos si es un máximo usando la segunda derivada: $$V''(T) = \frac{-1}{8}$$ Como $V''(20) = -1/8 \lt 0$, confirmamos que en $T = 20$ hay un **máximo relativo**. Calculamos el valor de la función en $T = 20$: $$V(20) = \frac{-1}{16}(20^2 - 40 \cdot 20 + 16) = \frac{-1}{16}(400 - 800 + 16) = \frac{-1}{16}(-384) = 24$$ La vida máxima es de **24 días**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{24 \text{ días}}$$

**b) (1 punto) Calcule la vida mínima e indique la temperatura media a la que se alcanza.** Como la función $V(T)$ es una parábola con las ramas hacia abajo (el coeficiente de $T^2$ es negativo), el mínimo absoluto en un intervalo cerrado $[4, 36]$ debe alcanzarse en los extremos del mismo. Calculamos la vida para $T = 4$: $$V(4) = \frac{-1}{16}(4^2 - 40 \cdot 4 + 16) = \frac{-1}{16}(16 - 160 + 16) = \frac{-1}{16}(-128) = 8 \text{ días}$$ Calculamos la vida para $T = 36$: $$V(36) = \frac{-1}{16}(36^2 - 40 \cdot 36 + 16) = \frac{-1}{16}(1296 - 1440 + 16) = \frac{-1}{16}(-128) = 8 \text{ días}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización en intervalos cerrados, siempre debemos comparar los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La vida mínima es de 8 días y se alcanza a los 4ºC y a los 36ºC}}$$

**c) (0.5 puntos) Si sabemos que una mosca ha vivido 15 días, ¿a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha habitado?** Debemos resolver la ecuación $V(T) = 15$: $$15 = \frac{-1}{16}(T^2 - 40T + 16)$$ Multiplicamos por $-16$ en ambos lados: $$-240 = T^2 - 40T + 16 \implies T^2 - 40T + 256 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$T = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1024}}{2}$$ $$T = \frac{40 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{40 \pm 24}{2}$$ Obtenemos dos posibles temperaturas: $$T_1 = \frac{40 + 24}{2} = \frac{64}{2} = 32^\circ\text{C}$$ $$T_2 = \frac{40 - 24}{2} = \frac{16}{2} = 8^\circ\text{C}$$ Ambos valores pertenecen al intervalo $[4, 36]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{8^\circ\text{C} \text{ y } 32^\circ\text{C}}$$