Probabilidad y Estadística 2015 Andalucia
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en compras
EJERCICIO 3
El 70% de los clientes de un supermercado realizan las compras en el local y el resto de los clientes las realizan por internet. De las compras realizadas en el local, sólo el 30% supera los 100 €, mientras que de las realizadas por internet el 80% supera esa cantidad.
a) (1.5 puntos) Elegida una compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 100 €?
b) (1 punto) Si se sabe que una compra supera los 100 €, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho en el local?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen basándonos en el enunciado:
- $L$: La compra se realiza en el local.
- $I$: La compra se realiza por internet.
- $S$: La compra supera los 100 €.
- $\bar{S}$: La compra no supera los 100 €.
Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades:
- $P(L) = 0.70$ (el 70% compra en el local).
- $P(I) = 1 - 0.70 = 0.30$ (el resto compra por internet).
- $P(S|L) = 0.30$ (probabilidad de superar 100 € sabiendo que es en el local).
- $P(S|I) = 0.80$ (probabilidad de superar 100 € sabiendo que es por internet).
Organizamos esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
**a) (1.5 puntos) Elegida una compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 100 €?**
Para calcular la probabilidad de que una compra supere los 100 €, debemos sumar las probabilidades de que esto ocurra tanto si la compra es en el local como si es por internet. Esto se conoce como el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(S) = P(L \cap S) + P(I \cap S)$$
Utilizando la probabilidad condicionada, esto se expresa como:
$$P(S) = P(L) \cdot P(S|L) + P(I) \cdot P(S|I)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(S) = 0.70 \cdot 0.30 + 0.30 \cdot 0.80$$
$$P(S) = 0.21 + 0.24 = 0.45$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las ramas que llegan al mismo suceso final nos da la probabilidad total de ese suceso.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(S) = 0.45}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) (1 punto) Si se sabe que una compra supera los 100 €, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho en el local?**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: sabemos que ha ocurrido el suceso $S$ (supera los 100 €) y queremos saber la probabilidad de que proceda de $L$ (local). Utilizaremos el **Teorema de Bayes**:
$$P(L|S) = \frac{P(L \cap S)}{P(S)}$$
Sustituimos los valores que ya hemos calculado en el paso anterior:
- Probabilidad de que sea en el local y supere los 100 €: $P(L \cap S) = 0.70 \cdot 0.30 = 0.21$.
- Probabilidad total de superar los 100 €: $P(S) = 0.45$.
$$P(L|S) = \frac{0.21}{0.45}$$
Simplificamos la fracción dividiendo entre 0.03 (o multiplicando por 100 y simplificando $\frac{21}{45}$):
$$P(L|S) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15} \approx 0.4667$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'rama' específica entre la probabilidad total calculada previamente.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(L|S) = \frac{7}{15} \approx 0.4667}$$