Contraste de hipótesis para la media poblacional

**EJERCICIO 4 (2.5 puntos) Una característica poblacional $X$ sigue una distribución Normal $N(\mu, 2.1)$. Sobre ella se formula un contraste de hipótesis bilateral con $H_0 : \mu = 5.5$ a un nivel de significación del 8%. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 25 que proporciona una media muestral de 6.3. Plantee dicho contraste, determine su región crítica y razone si se puede aceptar la hipótesis nula.** Primero, identificamos los datos del problema y definimos las hipótesis del contraste. Al ser un contraste bilateral, la hipótesis alternativa niega la igualdad sin especificar dirección. - Población: $X \sim N(\mu, 2.1)$, por lo que la desviación típica poblacional es $\sigma = 2.1$. - Hipótesis nula ($H_0$): $\mu = 5.5$. - Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu \neq 5.5$. - Tamaño de la muestra: $n = 25$. - Nivel de significación: $\alpha = 8\% = 0.08$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 6.3$. 💡 **Tip:** Un contraste es **bilateral** cuando la hipótesis alternativa utiliza el signo $\neq$. Esto significa que rechazaremos $H_0$ si la media muestral es mucho mayor o mucho menor que el valor propuesto. ✅ **Planteamiento del contraste:** $$\boxed{\begin{cases} H_0: \mu = 5.5 \\ H_1: \mu \neq 5.5 \end{cases}}$$

Para realizar el contraste, necesitamos conocer cómo se distribuyen las medias de todas las muestras posibles de tamaño $n=25$. Si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Bajo la suposición de que $H_0$ es cierta ($\mu = 5.5$): - Media: $\mu = 5.5$ - Desviación típica de la media (error típico): $\sigma_{\bar{x}} = \frac{2.1}{\sqrt{25}} = \frac{2.1}{5} = 0.42$ Por tanto: $$\bar{X} \sim N(5.5, 0.42)$$

Como el nivel de significación es $\alpha = 0.08$, el área de rechazo se reparte en dos colas (bilateral), dejando $\alpha/2 = 0.04$ en cada extremo. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad central sea $1 - \alpha = 0.92$. Esto implica que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.04 = 0.96$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$: Para una probabilidad de $0.96$, el valor más cercano es $0.9599$, que corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 1.75$$ 💡 **Tip:** Si el nivel de confianza es del $92\%$, dejamos un $4\%$ en cada lado. En la tabla siempre buscamos el acumulado hasta ese punto ($92\% + 4\% = 96\%$). $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.75}$$

La región crítica ($RC$) está formada por los valores de la media muestral que nos llevan a rechazar $H_0$. Los límites de la región de aceptación se calculan como: $$\mu_0 \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Calculamos los extremos: - Límite inferior: $5.5 - 1.75 \cdot 0.42 = 5.5 - 0.735 = 4.765$ - Límite superior: $5.5 + 1.75 \cdot 0.42 = 5.5 + 0.735 = 6.235$ La región de aceptación es el intervalo $(4.765, 6.235)$. Por tanto, la **región crítica** (donde rechazamos $H_0$) es: $$\boxed{RC = (-\infty, 4.765) \cup (6.235, +\infty)}$$

Para decidir si aceptamos $H_0$, comparamos el valor de la media muestral obtenida ($\bar{x} = 6.3$) con la región crítica calculada. Observamos que: $$\bar{x} = 6.3 > 6.235$$ Como el valor $6.3$ **pertenece a la región crítica** (cae en el intervalo de la derecha), tenemos evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula. Conclusión: Al nivel de significación del $8\%$, **no se puede aceptar la hipótesis nula $H_0: \mu = 5.5$**. 💡 **Tip:** Si el dato observado cae fuera del "margen de seguridad" (región de aceptación), rechazamos la suposición inicial por ser muy poco probable (menos del $8\%$ de probabilidad de ocurrir por azar). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0, \text{ ya que } \bar{x} = 6.3 \in RC}$$