Optimización de ingresos en un supermercado (Programación Lineal)

**¿cuántas bolsas de cada tipo debe haber elaborado para maximizar los ingresos? ¿A cuánto asciende el ingreso máximo?** En primer lugar, identificamos qué es lo que queremos calcular (las incógnitas) y qué es lo que queremos maximizar (la función objetivo). Definimos las variables: - $x$: número de bolsas de tipo A elaboradas. - $y$: número de bolsas de tipo B elaboradas. El objetivo es maximizar los ingresos totales. Como cada bolsa A se vende a 4 € y cada bolsa B a 3 €, la **función objetivo** de ingresos $I(x, y)$ será: $$I(x, y) = 4x + 3y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, las variables suelen representar cantidades de productos y la función objetivo suele ser el beneficio o coste total.

Para organizar los datos y establecer las restricciones según el stock disponible de frutas, podemos usar una tabla: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Fruta} & \text{Bolsa A } (x) & \text{Bolsa B } (y) & \text{Máximo disponible} \\ \hline \text{Manzanas (kg)} & 3 & 2 & 600 \\ \hline \text{Naranjas (kg)} & 1 & 2 & 400 \\ \hline \end{array}$$ Las restricciones vienen dadas por la cantidad limitada de manzanas y naranjas, además de que las cantidades de bolsas no pueden ser negativas: 1. **Manzanas:** $3x + 2y \le 600$ 2. **Naranjas:** $x + 2y \le 400$ 3. **No negatividad:** $x \ge 0, \quad y \ge 0$ 💡 **Tip:** Asegúrate de que las unidades sean coherentes (kg con kg) al plantear las inecuaciones.

Para hallar la región factible, representamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos el área común. - Recta $r_1$ (Manzanas): $3x + 2y = 600$. Si $x=0 \implies y=300$; si $y=0 \implies x=200$. - Recta $r_2$ (Naranjas): $x + 2y = 400$. Si $x=0 \implies y=200$; si $y=0 \implies x=400$. La región factible es el polígono delimitado por los ejes y estas rectas en el primer cuadrante.

Los vértices son los puntos de corte de las rectas que limitan la región: - **O:** El origen $(0,0)$. - **A:** Intersección de $r_2$ con el eje $Y$: $(0, 200)$. - **C:** Intersección de $r_1$ con el eje $X$: $(200, 0)$. - **B:** Intersección de $r_1$ y $r_2$: $$\begin{cases} 3x + 2y = 600 \\ x + 2y = 400 \end{cases}$$ Restando la segunda ecuación a la primera: $$(3x - x) + (2y - 2y) = 600 - 400 \implies 2x = 200 \implies x = 100$$ Sustituimos $x = 100$ en $x + 2y = 400$: $$100 + 2y = 400 \implies 2y = 300 \implies y = 150$$ Los vértices son: **$O(0,0)$, $A(0,200)$, $B(100,150)$ y $C(200,0)$**.

Evaluamos $I(x,y) = 4x + 3y$ en cada uno de los vértices para encontrar el máximo ingreso: - $I(0,0) = 4(0) + 3(0) = 0\,€$ - $I(0,200) = 4(0) + 3(200) = 600\,€$ - $I(100,150) = 4(100) + 3(150) = 400 + 450 = 850\,€$ - $I(200,0) = 4(200) + 3(0) = 800\,€$ El valor máximo se alcanza en el punto $B(100, 150)$ con un valor de 850 €. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe elaborar 100 bolsas de tipo A y 150 bolsas de tipo B. El ingreso máximo es de 850 €}}$$ 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el máximo (o mínimo) se encuentra en uno de los vértices de la región factible.