Cálculo de derivadas

**a) (0.9 puntos) $f(x) = \frac{2 \cdot (1 - 3x)^2}{1 + 3x}$.** Para derivar esta función, utilizaremos la **regla del cociente**: si $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, entonces $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$. Identificamos los elementos: - Numerador: $u(x) = 2(1 - 3x)^2$ - Denominador: $v(x) = 1 + 3x$ Calculamos sus derivadas por separado: - $u'(x) = 2 \cdot 2 \cdot (1 - 3x)^{2-1} \cdot (-3) = -12(1 - 3x)$ (usando la regla de la cadena). - $v'(x) = 3$. Aplicamos la fórmula: $$f'(x) = \frac{[-12(1 - 3x)] \cdot (1 + 3x) - [2(1 - 3x)^2] \cdot 3}{(1 + 3x)^2}$$ Simplificamos factorizando $6(1 - 3x)$ en el numerador para facilitar el cálculo: $$f'(x) = \frac{6(1 - 3x) \cdot [-2(1 + 3x) - (1 - 3x)]}{(1 + 3x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{6(1 - 3x) \cdot [-2 - 6x - 1 + 3x]}{(1 + 3x)^2} = \frac{6(1 - 3x) \cdot (-3x - 3)}{(1 + 3x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{6(1 - 3x) \cdot [-3(x + 1)]}{(1 + 3x)^2} = \frac{-18(1 - 3x)(x + 1)}{(1 + 3x)^2}$$ Si operamos el numerador final: $-18(x + 1 - 3x^2 - 3x) = -18(-3x^2 - 2x + 1) = 54x^2 + 36x - 18$. 💡 **Tip:** Al derivar potencias de funciones como $(g(x))^n$, no olvides multiplicar por la derivada interna $g'(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{54x^2 + 36x - 18}{(1 + 3x)^2}}$$

**b) (0.8 puntos) $g(x) = (x^2 - x + 1) \cdot e^{5x}$.** Usamos la **regla del producto**: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Identificamos: - $u(x) = x^2 - x + 1 \implies u'(x) = 2x - 1$ - $v(x) = e^{5x} \implies v'(x) = 5e^{5x}$ (regla de la cadena para la exponencial). Aplicamos la regla: $$g'(x) = (2x - 1) \cdot e^{5x} + (x^2 - x + 1) \cdot 5e^{5x}$$ Para dar el resultado de forma simplificada, sacamos factor común $e^{5x}$: $$g'(x) = e^{5x} \cdot [(2x - 1) + 5(x^2 - x + 1)]$$ $$g'(x) = e^{5x} \cdot [2x - 1 + 5x^2 - 5x + 5]$$ $$g'(x) = e^{5x} \cdot (5x^2 - 3x + 4)$$ 💡 **Tip:** En derivadas de productos con exponenciales, casi siempre es conveniente sacar la exponencial como factor común al final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = (5x^2 - 3x + 4)e^{5x}}$$

**c) (0.8 puntos) $h(x) = \log(x^2 + x + 1)$.** Nota: En el contexto de Bachillerato, cuando aparece $\log$ sin base suele referirse al logaritmo neperiano ($\ln$). Aplicamos la regla: $[\ln(u(x))]' = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Identificamos el argumento: - $u(x) = x^2 + x + 1$ - $u'(x) = 2x + 1$ Aplicamos la fórmula de la derivada: $$h'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$$ El denominador no tiene raíces reales (su discriminante $D = 1^2 - 4 = -3$ es negativo), por lo que la función y su derivada están definidas para todo $x \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Si el logaritmo fuera en otra base $a$, la fórmula sería $\frac{u'}{u \cdot \ln a}$, pero en estos exámenes suele ser logaritmo natural. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}}$$