Cálculo de probabilidades y estudio de independencia

**a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que ocurra A y ocurra B.** Primero, identificamos los sucesos y los datos proporcionados: - $P(A) = 0.25$ - $P(B) = 0.6$ - $P(A \cap B^C) = 0.1$ (Probabilidad de que ocurra A y no ocurra B) La probabilidad de que ocurra A y B es la intersección, $P(A \cap B)$. Usamos la propiedad del suceso diferencia: $$P(A \cap B^C) = P(A) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.1 = 0.25 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 0.25 - 0.1 = 0.15$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A \cap B^C$ representa los elementos que están en $A$ pero no en $B$. Gráficamente, es el conjunto $A$ restándole la zona común con $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.15}$$

Para facilitar la resolución de los siguientes apartados, podemos completar una tabla de contingencia con las probabilidades: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B^C & \text{Total} \\\hline A & \mathbf{0.15} & 0.1 & 0.25 \\ A^C & 0.45 & 0.3 & 0.75 \\ \hline \text{Total} & 0.6 & 0.4 & 1 \end{array}$$ Los valores en negrita o calculados se obtienen por sumas y restas de filas y columnas.

**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que no ocurra A pero sí ocurra B.** Se nos pide $P(A^C \cap B)$. Utilizando la misma lógica que en el apartado anterior: $$P(A^C \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores: $$P(A^C \cap B) = 0.6 - 0.15 = 0.45$$ Este valor también lo podemos extraer directamente de la tabla de contingencia realizada en el paso anterior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^C \cap B) = 0.45}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.** Se trata de una probabilidad condicionada, $P(A|B)$. Aplicamos la definición: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores obtenidos previamente: $$P(A|B) = \frac{0.15}{0.6}$$ Realizamos la división: $$P(A|B) = 0.25$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada restringe el espacio muestral al suceso que ya ha ocurrido (en este caso, B). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|B) = 0.25}$$

**d) (0.5 puntos) ¿Son independientes A y B?** Dos sucesos A y B son independientes si se cumple que la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades: $$P(A) \cdot P(B) = 0.25 \cdot 0.6 = 0.15$$ Comparamos con el valor de la intersección hallado en el apartado (a): $$P(A \cap B) = 0.15$$ Como $0.15 = 0.15$, se cumple la condición. Alternativamente, también son independientes si $P(A|B) = P(A)$. En este caso: $$P(A|B) = 0.25 \quad \text{y} \quad P(A) = 0.25$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, los sucesos A y B son independientes}}$$