Intervalo de confianza para una proporción

**a) (2 puntos) Calcule un intervalo de confianza, al 99.2%, para la proporción de veces que se obtiene un tres.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la proporción muestral: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Número de éxitos (veces que salió el tres): $x = 72$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{72}{400} = 0.18$$ Calculamos también el complementario $\hat{q}$: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.18 = 0.82$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ representa el porcentaje de éxitos en nuestra muestra expresado en tanto por uno. $$\boxed{n=400, \quad \hat{p}=0.18, \quad \hat{q}=0.82}$$

Para un nivel de confianza del $99.2\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.992$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.992 = 0.008$ 3. Calculamos $\alpha/2 = 0.004$ 4. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.004 = 0.996$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor que más se aproxima a una probabilidad de $0.996$ es: $$z_{\alpha/2} = 2.65$$ (Ya que para $z=2.65$, la probabilidad es $0.99598 \approx 0.996$). 💡 **Tip:** El valor crítico es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir el porcentaje de confianza solicitado. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.65}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el margen de error $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.65 \cdot \sqrt{\frac{0.18 \cdot 0.82}{400}}$$ $$E = 2.65 \cdot \sqrt{\frac{0.1476}{400}} = 2.65 \cdot \sqrt{0.000369}$$ $$E \approx 2.65 \cdot 0.019209 \approx 0.0509$$ Ahora formamos el intervalo: $$I.C. = (0.18 - 0.0509, \quad 0.18 + 0.0509)$$ $$I.C. = (0.1291, \quad 0.2309)$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{I.C. = (0.1291, \quad 0.2309)}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule el error máximo admisible cometido con ese intervalo.** El error máximo admisible es la mitad de la amplitud del intervalo de confianza, es decir, el término que sumamos y restamos a la proporción muestral. Como ya lo hemos calculado en el paso anterior: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ $$E = 2.65 \cdot 0.019209 = 0.050904...$$ Redondeando a cuatro decimales, obtenemos el error máximo cometido. 💡 **Tip:** El error máximo admisible disminuye si aumentamos el tamaño de la muestra $n$ o si disminuimos el nivel de confianza. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{E = 0.0509}$$