Operaciones con matrices y ecuación matricial

**a) (0.5 puntos) Calcule $A^2$.** Para calcular $A^2$ multiplicamos la matriz $A$ por sí misma. El producto de matrices se realiza multiplicando las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda. $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones elemento a elemento: - Fila 1 × Columna 1: $(1)(1) + (2)(-1) = 1 - 2 = -1$ - Fila 1 × Columna 2: $(1)(2) + (2)(2) = 2 + 4 = 6$ - Fila 2 × Columna 1: $(-1)(1) + (2)(-1) = -1 - 2 = -3$ - Fila 2 × Columna 2: $(-1)(2) + (2)(2) = -2 + 4 = 2$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices **no es conmutativo** y que para que se puedan multiplicar, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}}$$

**b) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X + 4B = C^t$.** Primero, aislamos el término que contiene la matriz $X$. Restamos $4B$ en ambos lados de la ecuación: $$A \cdot X = C^t - 4B$$ Para dejar sola la $X$, debemos eliminar la matriz $A$ que multiplica por la izquierda. Para ello, premultiplicamos ambos miembros por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (C^t - 4B)$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot (C^t - 4B)$$ $$X = A^{-1} \cdot (C^t - 4B)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden importa. Como $A$ está a la **izquierda** de $X$, su inversa debe aparecer a la **izquierda** del segundo miembro.

Para hallar $A^{-1}$ utilizamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)^t$. 1. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (2)(-1) = 2 + 2 = 4$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. 2. Hallamos la matriz adjunta de $A$: - $A_{11} = 2$ - $A_{12} = -(-1) = 1$ - $A_{21} = -(2) = -2$ - $A_{22} = 1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos la inversa (trasponiendo la adjunta y dividiendo por el determinante): $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculamos la parte derecha de la igualdad: $D = C^t - 4B$. Primero, la traspuesta de $C$ (cambiamos filas por columnas): $$C = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 12 & 8 \\ -8 & 4 \end{pmatrix} \implies C^t = \begin{pmatrix} 8 & 12 & -8 \\ -4 & 8 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos $4B$: $$4B = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 8 & 8 \\ -4 & -4 & 8 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta: $$C^t - 4B = \begin{pmatrix} 8-4 & 12-8 & -8-8 \\ -4-(-4) & 8-(-4) & 4-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 & -16 \\ 0 & 12 & -4 \end{pmatrix}$$

Finalmente, multiplicamos $A^{-1}$ por el resultado anterior: $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4 & -16 \\ 0 & 12 & -4 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos las matrices: - Fila 1: - $(2)(4) + (-2)(0) = 8$ - $(2)(4) + (-2)(12) = 8 - 24 = -16$ - $(2)(-16) + (-2)(-4) = -32 + 8 = -24$ - Fila 2: - $(1)(4) + (1)(0) = 4$ - $(1)(4) + (1)(12) = 4 + 12 = 16$ - $(1)(-16) + (1)(-4) = -16 - 4 = -20$ $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 8 & -16 & -24 \\ 4 & 16 & -20 \end{pmatrix}$$ Dividimos todos los términos por 4: ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -6 \\ 1 & 4 & -5 \end{pmatrix}}$$