Parámetros de continuidad e inflexión

**a) (1 punto) Determine el valor de $a$ para que sea continua en $x = -1$ la función** Para que la función $f(x)$ sea continua en $x = -1$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista $f(-1)$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to -1} f(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$. Como es una función definida a trozos, para que el límite global exista, los límites laterales deben ser iguales: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x)$$ 💡 **Tip:** Un salto entre ramas ocurre cuando los límites laterales son diferentes. Para evitarlo y que sea continua, debemos igualarlos.

Calculamos el valor de la función y los límites laterales en $x = -1$: - **Valor de la función y límite por la izquierda ($x \leq -1$):** $$f(-1) = \lim_{x \to -1^-} \frac{ax}{x - 1} = \frac{a(-1)}{-1 - 1} = \frac{-a}{-2} = \frac{a}{2}$$ - **Límite por la derecha ($x \gt -1$):** $$\lim_{x \to -1^+} (x^3 - 3x^2 + 6x - 2) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 6(-1) - 2$$ $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = -1 - 3(1) - 6 - 2 = -1 - 3 - 6 - 2 = -12$$ Igualamos ambos resultados para garantizar la continuidad: $$\frac{a}{2} = -12 \implies a = -12 \cdot 2 \implies a = -24$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -24}$$

**b) (1.5 puntos) Calcule los coeficientes $b$ y $c$ de la función $g(x) = x^3 + bx^2 + cx - 2$ para que (1, 2) sea un punto de inflexión de $g$.** El enunciado nos da dos informaciones cruciales sobre el punto $(1, 2)$: 1. El punto pertenece a la gráfica de la función, por lo que **$g(1) = 2$**. 2. En $x = 1$ hay un punto de inflexión, lo que implica que la segunda derivada se anula en ese punto: **$g''(1) = 0$**. Empezamos aplicando la primera condición $g(1) = 2$: $$g(1) = 1^3 + b(1)^2 + c(1) - 2 = 2$$ $$1 + b + c - 2 = 2$$ $$b + c - 1 = 2 \implies b + c = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a una función, siempre se cumple que $f(x_0) = y_0$.

Para aplicar la condición de punto de inflexión, necesitamos derivar $g(x)$ dos veces: Primera derivada: $$g'(x) = 3x^2 + 2bx + c$$ Segunda derivada: $$g''(x) = 6x + 2b$$ Como en $x = 1$ hay un punto de inflexión, imponemos $g''(1) = 0$: $$g''(1) = 6(1) + 2b = 0$$ $$6 + 2b = 0 \implies 2b = -6 \implies b = -3$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{b = -3}$$

Sustituimos el valor de $b = -3$ en la ecuación obtenida en el paso 3 ($b + c = 3$): $$-3 + c = 3 \implies c = 3 + 3 \implies c = 6$$ Para asegurar que es un punto de inflexión, verificamos el signo de $g''(x) = 6x - 6$ alrededor de $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline g''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Al haber un cambio de signo en la segunda derivada (pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba), se confirma que es un punto de inflexión. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{b = -3, \quad c = 6}$$