Probabilidad de lluvia y viento

Para resolver este ejercicio, lo primero es definir claramente los sucesos que intervienen y organizar la información en un diagrama de árbol. Definimos los sucesos: - $L$: El día llueve. - $\bar{L}$: El día no llueve. - $V$: El día hace viento. - $\bar{V}$: El día no hace viento. Datos del enunciado: - Llueve 2 días a la semana: $P(L) = \dfrac{2}{7} \implies P(\bar{L}) = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$. - Viento si llueve: $P(V|L) = 25\% = 0.25 = \dfrac{1}{4}$. - Viento si no llueve: $P(V|\bar{L}) = 40\% = 0.40 = \dfrac{2}{5}$. 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad compuesta, el diagrama de árbol ayuda a visualizar todos los posibles escenarios y sus probabilidades asociadas.

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que haga viento?** Para calcular la probabilidad de que haga viento ($P(V)$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El viento puede ocurrir tanto si llueve como si no llueve: $$P(V) = P(L) \cdot P(V|L) + P(\bar{L}) \cdot P(V|\bar{L})$$ Sustituimos los valores obtenidos del enunciado: $$P(V) = \left( \frac{2}{7} \right) \cdot 0.25 + \left( \frac{5}{7} \right) \cdot 0.40$$ $$P(V) = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{5}$$ $$P(V) = \frac{2}{28} + \frac{10}{35} = \frac{1}{14} + \frac{2}{7}$$ $$P(V) = \frac{1}{14} + \frac{4}{14} = \frac{5}{14}$$ En valor decimal aproximado: $$P(V) \approx 0.3571$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V) = \frac{5}{14} \approx 0.3571}$$

**b) (0.75 puntos) Si hace viento, ¿cuál es la probabilidad de que esté lloviendo?** Nos piden la probabilidad de que llueva sabiendo que hace viento, es decir, $P(L|V)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(L|V) = \frac{P(L \cap V)}{P(V)} = \frac{P(L) \cdot P(V|L)}{P(V)}$$ Ya conocemos el valor de $P(V)$ del apartado anterior y el numerador es una de las ramas de nuestro árbol: - Numerador: $P(L \cap V) = \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{28} = \dfrac{1}{14}$. - Denominador: $P(V) = \dfrac{5}{14}$. Calculamos: $$P(L|V) = \frac{1/14}{5/14} = \frac{1}{5} = 0.2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad condicionada $P(A|B)$ se calcula dividiendo la probabilidad de la intersección entre la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L|V) = 0.2}$$

**c) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva y no haga viento?** Nos piden la probabilidad de que se den ambos sucesos a la vez: que no llueva ($\bar{L}$) y que no haga viento ($\bar{V}$). Esto es la probabilidad de la intersección: $$P(\bar{L} \cap \bar{V}) = P(\bar{L}) \cdot P(\bar{V}|\bar{L})$$ Sabemos que: - $P(\bar{L}) = \dfrac{5}{7}$. - $P(\bar{V}|\bar{L}) = 1 - P(V|\bar{L}) = 1 - 0.40 = 0.60 = \dfrac{3}{5}$. Multiplicamos las probabilidades siguiendo la rama inferior del árbol: $$P(\bar{L} \cap \bar{V}) = \frac{5}{7} \cdot 0.60 = \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{7}$$ En valor decimal aproximado: $$P(\bar{L} \cap \bar{V}) \approx 0.4286$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{L} \cap \bar{V}) = \frac{3}{7} \approx 0.4286}$$