Intervalo de confianza para la media y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) En una muestra aleatoria de 100 botellas de agua mineral se encontró un contenido medio de 48 cl. Sabiendo que la variable “contenido de agua en una botella” sigue una ley Normal con desviación típica 5 cl, determine un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 95%.** Primero, extraemos los datos del enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 48$ cl - Desviación típica poblacional: $\sigma = 5$ cl - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $95\%$ de confianza: 1. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal $N(0,1)$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - 0.025 = 0.975$. $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: - Para $90\% \to z_{\alpha/2} = 1.645$ - Para $95\% \to z_{\alpha/2} = 1.96$ - Para $99\% \to z_{\alpha/2} = 2.575$

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \frac{5}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{5}{10} = 1.96 \cdot 0.5 = 0.98$$ El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ viene dado por: $$IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ $$IC = (48 - 0.98, \ 48 + 0.98) = (47.02, \ 48.98)$$ ✅ **Resultado del intervalo:** $$\boxed{IC = (47.02, \ 48.98)}$$

**b) (1 punto) ¿Qué tamaño muestral mínimo debería considerarse para estimar esta media con el mismo nivel de confianza y un error inferior a 0.5 cl?** En este apartado nos piden calcular $n$ con las siguientes condiciones: - Nivel de confianza: $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ - Error máximo: $E \lt 0.5$ - Desviación típica: $\sigma = 5$ Partimos de la fórmula del error: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt E$$ Sustituimos los datos conocidos: $$1.96 \cdot \frac{5}{\sqrt{n}} \lt 0.5$$

Despejamos $n$ en la inecuación paso a paso: 1. Multiplicamos los numeradores: $$\frac{9.8}{\sqrt{n}} \lt 0.5$$ 2. Pasamos $\sqrt{n}$ multiplicando al otro lado y $0.5$ dividiendo: $$\frac{9.8}{0.5} \lt \sqrt{n} \implies 19.6 \lt \sqrt{n}$$ 3. Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$(19.6)^2 \lt n \implies 384.16 \lt n$$ Como el tamaño muestral $n$ debe ser un número entero y debe ser mayor que $384.16$, tomamos el primer entero superior. 💡 **Tip:** En los problemas de tamaño muestral, siempre redondeamos al siguiente número entero hacia arriba, aunque el decimal sea pequeño, para asegurar que el error sea estrictamente inferior al solicitado. ✅ **Resultado del tamaño muestral:** $$\boxed{n = 385 \text{ botellas}}$$