Optimización de producción: trajes y abrigos

**a) (2 puntos) ¿Cuántos trajes y abrigos se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de trajes a confeccionar. - $y$: número de abrigos a confeccionar. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según los precios de venta dados, la función objetivo es: $$B(x, y) = 250x + 350y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre qué te preguntan para definir las variables. En este caso, la cantidad de trajes y abrigos determina el beneficio final.

A continuación, organizamos la información sobre el uso de los tejidos en una tabla para identificar las restricciones: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{Traje (x)} & \text{Abrigo (y)} & \text{Máximo disponible} \\ \hline \text{Pana (m)} & 1 & 2 & 160 \\ \hline \text{Lana (m)} & 2 & 2 & 240 \\ \hline \end{array}$$ Esto nos da el siguiente sistema de inecuaciones: 1. Pana: $x + 2y \le 160$ 2. Lana: $2x + 2y \le 240 \implies x + y \le 120$ 3. No negatividad: $x \ge 0, y \ge 0$ 💡 **Tip:** No olvides las restricciones de no negatividad ($x, y \ge 0$), ya que no se pueden fabricar cantidades negativas de ropa.

Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones: - $r_1: x + 2y = 160$ (Pasa por $(0, 80)$ y $(160, 0)$) - $r_2: x + y = 120$ (Pasa por $(0, 120)$ y $(120, 0)$) La región factible es el polígono delimitado por los ejes y estas rectas en el primer cuadrante.

Los vértices de la región son: - $A(0, 0)$ - $B(120, 0)$: Intersección de $r_2$ con el eje $X$. - $D(0, 80)$: Intersección de $r_1$ con el eje $Y$. - $C$: Intersección de $r_1$ y $r_2$. Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 160 \\ x + y = 120 \end{cases}$$ Restando la segunda a la primera: $(x+2y) - (x+y) = 160 - 120 \implies y = 40$. Sustituyendo en la segunda: $x + 40 = 120 \implies x = 80$. Por tanto, el punto de intersección es **$C(80, 40)$**. 💡 **Tip:** El método de reducción es muy útil aquí; al restar las ecuaciones eliminamos la $x$ directamente.

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 250x + 350y$ en cada vértice: - $B(0, 0) = 250(0) + 350(0) = 0 \text{ €}$ - $B(120, 0) = 250(120) + 350(0) = 30.000 \text{ €}$ - $B(80, 40) = 250(80) + 350(40) = 20.000 + 14.000 = 34.000 \text{ €}$ - $B(0, 80) = 250(0) + 350(80) = 28.000 \text{ €}$ El beneficio máximo es de **34.000 €**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 80 trajes y 40 abrigos para un beneficio de 34.000 €}}$$

**b) (0,5 puntos) ¿Pueden hacerse 60 trajes y 50 abrigos con esas cantidades de tejido? En caso afirmativo, ¿obtendría el máximo beneficio al venderlo todo?** Comprobamos si el punto $(60, 50)$ cumple todas las restricciones: 1. Pana: $1(60) + 2(50) = 60 + 100 = 160 \le 160$ (Cumple, usa el 100%). 2. Lana: $2(60) + 2(50) = 120 + 100 = 220 \le 240$ (Cumple, sobran 20m). Como cumple ambas, **sí se pueden confeccionar**. Calculamos el beneficio para este caso: $B(60, 50) = 250(60) + 350(50) = 15.000 + 17.500 = 32.500 \text{ €}$. Como $32.500 \lt 34.000$, **no se obtendría el beneficio máximo**. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Sí es posible confeccionarlos, pero el beneficio (32.500 €) no es el máximo}}$$