Extremos, punto de inflexión y recta tangente

**a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen.** Para estudiar los extremos relativos (máximos y mínimos) y el punto de inflexión de la función $f(x) = x^3 - 9x^2 + 8$, primero necesitamos calcular su primera y segunda derivada. Derivamos término a término: $$f'(x) = 3x^2 - 18x$$ Derivamos de nuevo para obtener la segunda derivada: $$f''(x) = 6x - 18$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia $x^n$ bajamos el exponente multiplicando y restamos uno al grado: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Los posibles extremos relativos se encuentran en los puntos donde la primera derivada es cero ($f'(x) = 0$): $$3x^2 - 18x = 0$$ $$3x(x - 6) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones: 1. $3x = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $x - 6 = 0 \implies x_2 = 6$ Ahora estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos para determinar si son máximos o mínimos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 6) & 6 & (6, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas (coordenadas $y$) sustituyendo en la función original $f(x)$: - Para $x=0$: $f(0) = 0^3 - 9(0)^2 + 8 = 8$. Máximo en **$(0, 8)$**. - Para $x=6$: $f(6) = 6^3 - 9(6)^2 + 8 = 216 - 324 + 8 = -100$. Mínimo en **$(6, -100)$**. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } (0, 8), \quad \text{Mínimo relativo: } (6, -100)}$$

Para hallar el punto de inflexión, buscamos los valores donde la segunda derivada es cero ($f''(x) = 0$): $$6x - 18 = 0$$ $$6x = 18 \implies x = 3$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ para confirmar el cambio de curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ Calculamos la ordenada sustituyendo $x=3$ en $f(x)$: $$f(3) = 3^3 - 9(3)^2 + 8 = 27 - 81 + 8 = -46$$ Como hay un cambio de signo en la segunda derivada, el punto $(3, -46)$ es un punto de inflexión. ✅ **Resultado (Punto de inflexión):** $$\boxed{\text{Punto de Inflexión: } (3, -46)}$$

**b) (0.8 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $x=a$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En nuestro caso, $a = 1$. Calculamos los valores necesarios: 1. **Punto de tangencia ($y_0$):** $f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 8 = 1 - 9 + 8 = 0$. 2. **Pendiente ($m$):** $f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) = 3 - 18 = -15$. Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = -15(x - 1)$$ $$y = -15x + 15$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada evaluada en un punto, $f'(a)$, nos da exactamente la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = -15x + 15}$$