Probabilidad con urnas y dados

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información en un diagrama de árbol. **Sucesos:** - $A$: Seleccionar la urna A. - $B$: Seleccionar la urna B. - $V$: Sacar una bola verde. - $R$: Sacar una bola roja. - $N$: Sacar una bola negra. **Probabilidades de las urnas:** Al lanzar un dado: - La urna A se elige si sale un número menor que 3 ({1, 2}). Por tanto, $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. - La urna B se elige si sale mayor o igual que 3 ({3, 4, 5, 6}). Por tanto, $P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. **Probabilidades en las urnas:** - Urna A (14 bolas en total: 8V, 6R): $P(V|A) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$ y $P(R|A) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$. - Urna B (10 bolas en total: 4V, 5R, 1N): $P(V|B) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$, $P(R|B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ y $P(N|B) = \frac{1}{10}$.

**a) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la bola sea verde si ha salido un 4.** Si ha salido un $4$ en el dado, sabemos con total seguridad que la bola se extrae de la **Urna B**, ya que el enunciado dice que se elige la urna B si el número es mayor o igual que $3$. Por tanto, la probabilidad pedida es simplemente la probabilidad de sacar verde dentro de la urna B: $$P(V | \text{dado}=4) = P(V | B)$$ Como en la urna B hay 4 bolas verdes de un total de 10: $$P(V | B) = \frac{4}{10} = 0.4$$ 💡 **Tip:** No te dejes confundir por el dato del "4". Solo sirve para determinar en qué rama del árbol nos encontramos (Urna B). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V|4) = 0.4}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la bola elegida sea roja.** Para calcular la probabilidad total de que la bola sea roja ($P(R)$), debemos tener en cuenta que puede venir de la urna A o de la urna B. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: $$P(R) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} \right) + \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \right)$$ Operamos paso a paso: 1. Primer término (Urna A): $\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$ 2. Segundo término (Urna B): $\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ Sumamos ambas fracciones: $$P(R) = \frac{1}{7} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 7}{21} = \frac{10}{21}$$ En valor decimal: $$P(R) \approx 0.4762$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = \frac{10}{21} \approx 0.476}$$

**c) (1 punto) Sabiendo que ha salido una bola verde, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna A?** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|V) = \frac{P(A \cap V)}{P(V)} = \frac{P(A) \cdot P(V|A)}{P(V)}$$ Primero necesitamos calcular la probabilidad total de sacar una bola verde $P(V)$: $$P(V) = P(A) \cdot P(V|A) + P(B) \cdot P(V|B)$$ $$P(V) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} \right) + \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{10} \right)$$ $$P(V) = \frac{4}{21} + \frac{8}{30} = \frac{4}{21} + \frac{4}{15}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de $21$ y $15$ ($105$): $$P(V) = \frac{20}{105} + \frac{28}{105} = \frac{48}{105} = \frac{16}{35}$$ Ahora aplicamos Bayes: $$P(A|V) = \frac{P(A \cap V)}{P(V)} = \frac{4/21}{16/35}$$ Para dividir fracciones, multiplicamos en cruz: $$P(A|V) = \frac{4 \cdot 35}{21 \cdot 16} = \frac{140}{336}$$ Simplificamos dividiendo entre 28: $$P(A|V) = \frac{5}{12}$$ En valor decimal: $$P(A|V) \approx 0.4167$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona una condición ya ocurrida (bola verde) con su causa origen (urna A). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|V) = \frac{5}{12} \approx 0.417}$$