Contraste de hipótesis para la media de la concentración de arsénico

**a) (1.5 puntos) Determine la región crítica de este contraste a un nivel de significación del 5%.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como la concentración de arsénico en los moluscos (en mg/kg). El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \text{ con } \sigma = 6$$ Para el contraste, tomamos una muestra de tamaño $n = 36$. La media muestral, $\bar{X}$, seguirá una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(\mu, \frac{6}{\sqrt{36}}\right) = N(\mu, 1)$$ Las hipótesis planteadas son: - Hipótesis nula: $H_0 : \mu \leq 80$ - Hipótesis alternativa: $H_1 : \mu \gt 80$ Este es un **contraste unilateral a la derecha**, ya que la región de rechazo se situará en los valores de la media muestral significativamente mayores que 80. 💡 **Tip:** Recuerda que si $H_1$ tiene el símbolo $\gt$, la región crítica está a la derecha. Si tuviera $\lt$, estaría a la izquierda.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ tal que la probabilidad a su derecha sea $0.05$: $$P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.05$$ Esto equivale a buscar un valor $z_{\alpha}$ tal que la probabilidad a su izquierda sea $1 - 0.05 = 0.95$: $$P(Z \leq z_{\alpha}) = 0.95$$ Consultando las tablas de la distribución normal: Para una probabilidad de $0.95$, el valor se encuentra entre $1.64$ y $1.65$. Habitualmente se toma el valor medio: $$z_{\alpha} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Si no quieres interpolar, usar $1.64$ o $1.65$ suele aceptarse, pero $1.645$ es el valor estándar para el nivel del 5% unilateral.

La región crítica ($RC$) está formada por los valores de la media muestral $\bar{x}$ que nos llevan a rechazar $H_0$. Se calcula con la fórmula: $$\bar{x} \gt \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$\bar{x} \gt 80 + 1.645 \cdot 1$$ $$\bar{x} \gt 81.645$$ Por tanto, la región crítica es el intervalo de valores superiores a $81.645$. ✅ **Resultado (Región Crítica):** $$\boxed{RC = (81.645, +\infty)}$$

**b) (1 punto) ¿Debe rechazarse esta hipótesis nula, al nivel del 5%, si en esa muestra de 36 moluscos se encuentra una concentración media de arsénico de 82 mg/kg?** Disponemos de una media muestral observada de $\bar{x}_{obs} = 82$ mg/kg. Para tomar una decisión, comprobamos si este valor pertenece a la región crítica calculada en el apartado anterior: - Región Crítica: $RC = (81.645, +\infty)$ - Valor observado: $82$ Como **$82 \gt 81.645$**, el valor observado cae dentro de la región de rechazo. 💡 **Tip:** Otra forma es calcular el estadístico de contraste $Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{82 - 80}{1} = 2$. Como $2 \gt 1.645$, rechazamos $H_0$. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Sí, debe rechazarse la hipótesis nula } H_0 \text{ al nivel del 5%}}$$ Esto significa que hay evidencias estadísticas suficientes para afirmar que la media de concentración de arsénico supera el límite de $80$ mg/kg.