Optimización del reparto de tarrinas de helado

**¿Cuántas tarrinas de cada tipo se deben preparar para repartir el máximo número posible de tarrinas?** En primer lugar, debemos identificar qué es lo que queremos calcular. Definimos las variables del problema: - $x$: número de tarrinas del primer tipo. - $y$: número de tarrinas del segundo tipo. El objetivo es maximizar el número total de tarrinas repartidas. Por tanto, la **función objetivo** será: $$f(x, y) = x + y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, lee siempre la pregunta final para identificar las incógnitas ($x$ e $y$) y lo que se desea maximizar o minimizar (función objetivo).

A continuación, organizamos los datos de los ingredientes disponibles. Es muy importante trabajar siempre en las mismas unidades. Convertimos los kilogramos a gramos: - Chocolate: $8 \text{ kg} = 8000 \text{ g}$ - Straciatella: $10 \text{ kg} = 10000 \text{ g}$ Podemos resumir las necesidades de cada tipo de tarrina en una tabla: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Ingrediente} & \text{Tipo 1 } (x) & \text{Tipo 2 } (y) & \text{Disponible} \\ \hline \text{Chocolate (g)} & 100 & 150 & \le 8000 \\ \hline \text{Straciatella (g)} & 200 & 150 & \le 10000 \\ \hline \text{Barquillos (ud)} & 1 & 2 & \le 100 \\ \hline \end{array}$$ Esto nos da el siguiente sistema de inecuaciones: 1. **Chocolate:** $100x + 150y \le 8000 \implies 2x + 3y \le 160$ 2. **Straciatella:** $200x + 150y \le 10000 \implies 4x + 3y \le 200$ 3. **Barquillos:** $x + 2y \le 100$ 4. **No negatividad:** $x \ge 0, \quad y \ge 0$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones dividiendo por el máximo común divisor ayuda a trabajar con números más pequeños al dibujar las rectas.

Para hallar la región factible, representamos las rectas asociadas a las restricciones: - $r_1: 2x + 3y = 160$ (Pasa por $(80, 0)$ y $(20, 40)$) - $r_2: 4x + 3y = 200$ (Pasa por $(50, 0)$ y $(20, 40)$) - $r_3: x + 2y = 100$ (Pasa por $(0, 50)$ y $(20, 40)$) Observamos que las tres rectas se cruzan en el punto $(20, 40)$. Vamos a comprobarlo resolviendo, por ejemplo, el sistema entre $r_2$ y $r_3$ por sustitución: De $r_3$ despejamos $x = 100 - 2y$. Sustituimos en $r_2$: $$4(100 - 2y) + 3y = 200 \implies 400 - 8y + 3y = 200 \implies -5y = -200 \implies y = 40$$ Si $y = 40$, entonces $x = 100 - 2(40) = 20$. Los vértices de la región factible (la zona sombreada que cumple todas las condiciones) son: - $A(0, 0)$ - $B(50, 0)$ (Intersección de $r_2$ con el eje $X$) - $C(20, 40)$ (Intersección de las tres restricciones) - $D(0, 50)$ (Intersección de $r_3$ con el eje $Y$)

Evaluamos $f(x, y) = x + y$ en cada uno de los vértices para encontrar el máximo: - $A(0, 0) \implies f(0, 0) = 0 + 0 = 0$ - $B(50, 0) \implies f(50, 0) = 50 + 0 = 50$ - $C(20, 40) \implies f(20, 40) = 20 + 40 = 60$ - $D(0, 50) \implies f(0, 50) = 0 + 50 = 50$ El valor máximo es $60$ y se alcanza en el punto $C(20, 40)$. Para repartir el máximo número de tarrinas, se deben preparar **20 tarrinas del tipo 1 y 40 tarrinas del tipo 2**, obteniendo un total de **60 tarrinas**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{20 \text{ tarrinas tipo 1 y 40 tarrinas tipo 2}}$$