Cálculo de derivadas y estudio de asíntotas

**a) (1.5 puntos) Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:** Empezamos por la función $f(x) = \frac{3 \ln(x)}{x^3}$. Al ser un cociente, utilizaremos la regla de la derivada del cociente: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Definimos las partes: - $u = 3 \ln(x) \implies u' = \frac{3}{x}$ - $v = x^3 \implies v' = 3x^2$ Calculamos $f'(x)$: $$f'(x) = \frac{\left(\frac{3}{x}\right) \cdot x^3 - (3 \ln(x)) \cdot (3x^2)}{(x^3)^2}$$ Simplificamos los términos: $$f'(x) = \frac{3x^2 - 9x^2 \ln(x)}{x^6}$$ Podemos sacar factor común $3x^2$ en el numerador: $$f'(x) = \frac{3x^2(1 - 3 \ln(x))}{x^6} = \frac{3(1 - 3 \ln(x))}{x^4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$ y que al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{3 - 9\ln(x)}{x^4}}$$

Continuamos con $g(x) = (1 - x^2) \cdot (x^3 - 1)^2$. Esta función es un producto de dos términos, por lo que usamos la regla del producto: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$ Definimos las partes: - $u = (1 - x^2) \implies u' = -2x$ - $v = (x^3 - 1)^2 \implies v' = 2(x^3 - 1) \cdot 3x^2 = 6x^2(x^3 - 1)$ (aplicando la regla de la cadena) Calculamos $g'(x)$: $$g'(x) = (-2x) \cdot (x^3 - 1)^2 + (1 - x^2) \cdot [6x^2(x^3 - 1)]$$ Para simplificar, podemos sacar factor común $2x(x^3 - 1)$: $$g'(x) = 2x(x^3 - 1) \left[ -(x^3 - 1) + 3x(1 - x^2) \right]$$ $$g'(x) = 2x(x^3 - 1) \left[ -x^3 + 1 + 3x - 3x^3 \right]$$ $$g'(x) = 2x(x^3 - 1) (-4x^3 + 3x + 1)$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas una potencia de una función como $(x^3 - 1)^2$, usa la regla de la cadena: baja el exponente, resta uno y multiplica por la derivada de lo de dentro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = (x^3 - 1)(-8x^4 + 6x^2 + 2x)}$$

Finalmente calculamos la derivada de $h(x) = 3x^2 - 7x + \frac{1}{e^{2x}}$. Primero, reescribimos el término fraccionario para facilitar la derivación: $\frac{1}{e^{2x}} = e^{-2x}$. $$h(x) = 3x^2 - 7x + e^{-2x}$$ Ahora derivamos término a término: - La derivada de $3x^2$ es $6x$. - La derivada de $-7x$ es $-7$. - La derivada de $e^{-2x}$ es $e^{-2x} \cdot (-2)$ (por la regla de la cadena). Sumamos los resultados: $$h'(x) = 6x - 7 - 2e^{-2x}$$ Si queremos dejarlo sin exponentes negativos: $$h'(x) = 6x - 7 - \frac{2}{e^{2x}}$$ 💡 **Tip:** Derivar $e^{f(x)}$ es muy sencillo: es la misma exponencial multiplicada por la derivada del exponente, es decir, $f'(x) \cdot e^{f(x)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h'(x) = 6x - 7 - \frac{2}{e^{2x}}}$$

**b) (1 punto) Halle las asíntotas de la función $p(x) = \frac{7x}{3x - 12}$.** Primero analizamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto los que anulan el denominador: $$3x - 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$$ Dominio de $p(x) = \mathbb{R} \setminus \{4\}$. Estudiamos la posible **asíntota vertical** en $x = 4$ calculando el límite: $$\lim_{x \to 4} \frac{7x}{3x - 12} = \frac{7 \cdot 4}{3(4) - 12} = \frac{28}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en la recta de ecuación: $$\boxed{x = 4}$$ 💡 **Tip:** Para encontrar asíntotas verticales en funciones racionales, busca los valores que hacen cero el denominador pero no el numerador.

Para buscar **asíntotas horizontales**, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{7x}{3x - 12}$$ Al ser un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{7x}{3x - 12} = \frac{7}{3}$$ Por lo tanto, existe una asíntota horizontal en la recta de ecuación: $$\boxed{y = \frac{7}{3}}$$ Como la función tiene asíntotas horizontales tanto por la derecha como por la izquierda, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, siempre habrá una asíntota horizontal $y = k$. Si el grado del numerador fuera exactamente uno mayor que el del denominador, entonces buscaríamos la oblicua. ✅ **Resultado Final del apartado b):** $$\boxed{\text{A. Vertical: } x = 4, \quad \text{A. Horizontal: } y = \frac{7}{3}}$$