Probabilidad de aprobar y teorema de Bayes

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información de forma clara: * $H$: "El alumno elegido es hombre". * $M$: "El alumno elegido es mujer". * $A$: "El alumno aprueba la asignatura". * $\bar{A}$: "El alumno no aprueba la asignatura". Calculamos las probabilidades de ser hombre o mujer a partir de los datos totales: - Total de alumnos: $700$ - Probabilidad de ser hombre: $P(H) = \dfrac{210}{700} = 0.3$ - Probabilidad de ser mujer: $P(M) = \dfrac{490}{700} = 0.7$ Además, el enunciado nos da las probabilidades condicionadas de aprobar: - Probabilidad de aprobar siendo hombre: $P(A|H) = 60\% = 0.6$ - Probabilidad de aprobar siendo mujer: $P(A|M) = 70\% = 0.7$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos elementales (Hombres y Mujeres) debe ser 1 ($0.3 + 0.7 = 1$).

Para visualizar mejor el problema, representamos los datos en un árbol de probabilidad. Esto nos ayudará a identificar los caminos necesarios para resolver cada apartado.

**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe la asignatura?** Para calcular la probabilidad total de aprobar $P(A)$, debemos sumar las probabilidades de aprobar siendo hombre y de aprobar siendo mujer. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(A) = P(H) \cdot P(A|H) + P(M) \cdot P(A|M)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(A) = 0.3 \cdot 0.6 + 0.7 \cdot 0.7$$ $$P(A) = 0.18 + 0.49$$ $$P(A) = 0.67$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (Aprobar) puede ocurrir a través de varias ramas o grupos excluyentes (Hombres o Mujeres). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.67}$$

**b) (1 punto) Sabiendo que ha aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?** En este caso, nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, conocemos el resultado final (ha aprobado) y queremos saber la probabilidad de que pertenezca a un grupo inicial (mujer). Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|A) = \frac{P(M \cap A)}{P(A)}$$ Como ya hemos calculado $P(A)$ en el apartado anterior y conocemos $P(M \cap A)$: - $P(M \cap A) = P(M) \cdot P(A|M) = 0.7 \cdot 0.7 = 0.49$ - $P(A) = 0.67$ Calculamos el cociente: $$P(M|A) = \frac{0.49}{0.67} \approx 0.7313$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de la "intersección de la rama que me interesa" dividida por la "probabilidad total del suceso final". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|A) = \frac{49}{67} \approx 0.7313}$$