Contraste de hipótesis para la media

**a) (1.75 puntos) Se tiene la creencia de que la calificación media de los alumnos del centro en Matemáticas es a lo sumo 5 puntos. Con un nivel de significación del 5%, plantee el contraste unilateral correspondiente $(H_0 : \mu \le 5)$, determine la región crítica y razone si la creencia es fundada o no.** Primero, identificamos los datos del problema: - Población: $X \sim N(\mu, 1.2)$. Por tanto, $\sigma = 1.2$. - Tamaño de la muestra: $n = 10$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$. Calculamos la media de la muestra proporcionada ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{3 + 8 + 6 + 3 + 9 + 1 + 7 + 7 + 5 + 6}{10} = \frac{55}{10} = 5.5$$ 💡 **Tip:** La media muestral $\bar{x}$ es el mejor estimador de la media poblacional $\mu$ y es fundamental para realizar el contraste. $$\boxed{\bar{x} = 5.5}$$

Queremos contrastar la creencia de que la media es "a lo sumo 5" (es decir, $\mu \le 5$). - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu \le 5$ (La creencia es cierta). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \gt 5$ (La media es superior a 5). Se trata de un **contraste unilateral a la derecha**, ya que la región de rechazo se encuentra en los valores significativamente mayores que 5. El estadístico de contraste para la media con $\sigma$ conocida es: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$$ 💡 **Tip:** En los contrastes de "a lo sumo", la hipótesis alternativa siempre busca el "mayor que" ($>$), lo que indica que la zona crítica está en el extremo derecho de la distribución.

Para $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.05$. Esto equivale a buscar en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.05 = 0.95$$ Mirando las tablas, para una probabilidad de $0.95$, el valor crítico es: $$z_{0.05} = 1.645$$ La **región crítica** (o de rechazo) para el estadístico $Z$ es: $$RC = (1.645, +\infty)$$ Para expresarla en términos de la media muestral $\bar{x}$: $$\bar{x} \gt \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 5 + 1.645 \cdot \frac{1.2}{\sqrt{10}} \approx 5 + 1.645 \cdot 0.3795 = 5.624$$ ✅ **Resultado (Región Crítica):** $$\boxed{RC = \{ Z \in \mathbb{R} \mid Z \gt 1.645 \} \text{ o } \bar{x} \gt 5.624}$$

Calculamos el valor observado del estadístico de contraste con nuestra muestra: $$Z_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{5.5 - 5}{1.2 / \sqrt{10}} = \frac{0.5}{0.37947} \approx 1.3176$$ Comparamos el valor observado con el valor crítico: $$1.3176 \lt 1.645$$ Como $Z_{obs}$ **no pertenece a la región crítica** (o equivalentemente, $\bar{x} = 5.5$ no es mayor que $5.624$), **no podemos rechazar la hipótesis nula $H_0$**. Por tanto, con un nivel de significación del 5%, no hay pruebas suficientes para rechazar que la media sea a lo sumo 5. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{La creencia de que la calificación media es a lo sumo 5 es fundada.}}$$

**b) (0.75 puntos) ¿Obtendría la misma respuesta si el nivel de significación fuese del 15%?** Si $\alpha = 0.15$, buscamos un nuevo valor crítico $z_{0.15}$ tal que: $$P(Z \le z_{0.15}) = 1 - 0.15 = 0.85$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$ el valor más cercano a $0.85$: $$z_{0.15} \approx 1.036 \text{ (o } 1.04 \text{ aproximando)}$$ Nuestra nueva región crítica sería: $$RC = (1.036, +\infty)$$ Comparamos nuestro valor observado anterior ($Z_{obs} = 1.3176$) con el nuevo valor crítico: $$1.3176 \gt 1.036$$ En este caso, $Z_{obs}$ **sí cae dentro de la región crítica**. Por lo tanto, con un nivel de significación del 15%, **rechazaríamos $H_0$**. 💡 **Tip:** Al aumentar el nivel de significación $\alpha$, la región crítica se hace más grande, por lo que es más "fácil" rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No obtendría la misma respuesta. Para } \alpha=0.15 \text{ se rechaza } H_0.}$$