Ecuaciones matriciales y dimensiones de matrices

**a) (1.7 puntos) Calcule las matrices $X$ e $Y$ si $X + Y = 2A$ y $X + B = 2Y$.** Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas matriciales ($X$ e $Y$): 1) $X + Y = 2A$ 2) $X - 2Y = -B$ (reordenando la segunda ecuación) Podemos resolverlo por el método de reducción. Si restamos la segunda ecuación de la primera: $$(X + Y) - (X - 2Y) = 2A - (-B)$$ $$3Y = 2A + B$$ De aquí, podemos despejar $Y$: $$Y = \frac{1}{3}(2A + B)$$ Una vez hallada $Y$, despejaremos $X$ de la primera ecuación: $$X = 2A - Y$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones matriciales se resuelven de forma similar a las ecuaciones numéricas, pero respetando siempre el orden de la multiplicación (aunque aquí solo hay sumas y productos por escalares, que son conmutativos).

Primero calculamos la matriz $2A$: $$2A = 2 \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $2A + B$: $$2A + B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+2 & 6-3 \\ -2+5 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $Y$ dividiendo entre 3: $$Y = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Utilizamos la expresión $X = 2A - Y$: $$X = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-2 & 6-1 \\ -2-1 & 2-1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final del apartado a:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.8 puntos) Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirmativos las dimensiones de la matriz $D$: $A + D = C \quad A \cdot D = C^t \quad D \cdot A = C \quad D \cdot A = C^t$.** Primero, identificamos las dimensiones de las matrices dadas: - $A$ es $2 \times 2$ - $C$ es $3 \times 2$ - $C^t$ (traspuesta de $C$) es $2 \times 3$ **Operación 1: $A + D = C$** Para sumar dos matrices, estas deben tener exactamente las mismas dimensiones. - $A$ tiene dimensión $2 \times 2$. - $C$ tiene dimensión $3 \times 2$. Como $A$ y $C$ no tienen la misma dimensión, **esta operación no se puede realizar**. 💡 **Tip:** Recuerda que la suma y resta de matrices solo está definida para matrices del mismo orden.

**Operación 2: $A \cdot D = C^t$** Para que el producto de matrices sea posible, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Sea $D$ una matriz de dimensión $m \times n$: $$(2 \times 2) \cdot (m \times n) = (2 \times 3)$$ - Para que el producto se pueda realizar: $m = 2$ (filas de $D$ igual a columnas de $A$). - Para que el resultado tenga la dimensión de $C^t$: el número de filas debe ser 2 (coincide con $A$) y el número de columnas debe ser $n = 3$. Por tanto, **esta operación sí se puede realizar** y la dimensión de $D$ debe ser **$2 \times 3$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot D = C^t \implies D \in \mathcal{M}_{2 \times 3}}$$

**Operación 3: $D \cdot A = C$** Sea $D$ una matriz de dimensión $m \times n$: $$(m \times n) \cdot (2 \times 2) = (3 \times 2)$$ - Para que el producto se pueda realizar: $n = 2$ (columnas de $D$ igual a filas de $A$). - Para que el resultado tenga la dimensión de $C$ ($3 \times 2$): el número de filas de la primera matriz debe ser $m = 3$ y el de columnas el de la segunda (que es 2). Por tanto, **esta operación sí se puede realizar** y la dimensión de $D$ debe ser **$3 \times 2$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D \cdot A = C \implies D \in \mathcal{M}_{3 \times 2}}$$

**Operación 4: $D \cdot A = C^t$** Sea $D$ una matriz de dimensión $m \times n$: $$(m \times n) \cdot (2 \times 2) = (2 \times 3)$$ - Por la condición del producto: $n = 2$. - La matriz resultante del producto $(m \times 2) \cdot (2 \times 2)$ tendrá siempre dimensión $m \times 2$. - Sin embargo, la matriz $C^t$ tiene dimensión $2 \times 3$. Es imposible que una matriz resultante de este producto (que tendrá 2 columnas) sea igual a $C^t$ (que tiene 3 columnas). Por tanto, **esta operación no se puede realizar**. 💡 **Tip:** El resultado de multiplicar una matriz $(m \times n)$ por una $(n \times p)$ es siempre una matriz de dimensión $(m \times p)$.