Probabilidad de diagnóstico de una enfermedad

**a) (1.25 puntos) Se elige al azar una persona y se le hace la prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido diagnosticada correctamente?** Primero, definimos los sucesos del problema para organizar la información: - $E$: La persona está enferma. - $S$: La persona está sana (suceso contrario a $E$, es decir, $\bar{E}$). - $D$: La prueba da positivo (diagnostica enfermedad). - $\bar{D}$: La prueba da negativo (diagnostica salud). Extraemos los datos del enunciado: - Proporción de enfermos: $P(E) = \dfrac{1}{500} = 0.002$. - Proporción de sanos: $P(S) = 1 - 0.002 = 0.998$. - Probabilidad de detectar la enfermedad si está enfermo (sensibilidad): $P(D|E) = 90\% = 0.9$. - Probabilidad de dar positivo estando sano (falso positivo): $P(D|S) = 5\% = 0.05$. 💡 **Tip:** Un diagrama de árbol es la mejor herramienta para visualizar experimentos compuestos donde un suceso depende del anterior.

Un diagnóstico es **correcto** en dos situaciones: 1. La persona está enferma y el test da positivo: $E \cap D$. 2. La persona está sana y el test da negativo: $S \cap \bar{D}$. Calculamos la probabilidad total de este suceso: $$P(\text{Correcto}) = P(E \cap D) + P(S \cap \bar{D})$$ $$P(\text{Correcto}) = P(E) \cdot P(D|E) + P(S) \cdot P(\bar{D}|S)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\text{Correcto}) = 0.002 \cdot 0.9 + 0.998 \cdot 0.95$$ $$P(\text{Correcto}) = 0.0018 + 0.9481 = 0.9499$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Correcto}) = 0.9499}$$ 💡 **Tip:** Observa que la mayoría de los aciertos vienen de las personas sanas que dan negativo, ya que la enfermedad es muy poco frecuente en la población.

**b) (1.25 puntos) Si la prueba ha diagnosticado que la persona está enferma, ¿cuál es la probabilidad de que realmente lo esté? ¿Y de que esté sana?** Nos piden calcular la probabilidad condicionada $P(E|D)$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**. Primero necesitamos la probabilidad total de que el diagnóstico sea positivo, $P(D)$: $$P(D) = P(E \cap D) + P(S \cap D)$$ $$P(D) = P(E) \cdot P(D|E) + P(S) \cdot P(D|S)$$ $$P(D) = 0.002 \cdot 0.9 + 0.998 \cdot 0.05$$ $$P(D) = 0.0018 + 0.0499 = 0.0517$$ Ahora aplicamos Bayes para hallar la probabilidad de que esté realmente enfermo: $$P(E|D) = \frac{P(E \cap D)}{P(D)} = \frac{0.0018}{0.0517} \approx 0.0348$$ ✅ **Resultado (Realmente enfermo):** $$\boxed{P(E|D) \approx 0.0348 \text{ (un } 3.48\% \text{ aproximado)}}$$

Para hallar la probabilidad de que esté sana habiendo dado positivo ($P(S|D)$), podemos usar el suceso contrario al anterior, ya que si sabemos que ha dado positivo, o bien está enferma o bien está sana: $$P(S|D) = 1 - P(E|D)$$ $$P(S|D) = 1 - 0.0348 = 0.9652$$ También se podría calcular directamente usando Bayes: $$P(S|D) = \frac{P(S \cap D)}{P(D)} = \frac{0.0499}{0.0517} \approx 0.9652$$ Esto significa que si la prueba da positivo, hay un **96.52% de probabilidad de que sea un falso positivo** y la persona esté realmente sana. Esto ocurre porque la enfermedad es muy rara (1/500). ✅ **Resultado (Realmente sano):** $$\boxed{P(S|D) \approx 0.9652 \text{ (un } 96.52\% \text{ aproximado)}}$$