Inferencia sobre la media: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la media de los diámetros de los tubos que fabrica.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado para la distribución del diámetro de los tubos: - La población sigue una distribución Normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Varianza poblacional: $\sigma^2 = 0.25 \text{ mm}^2$. Por tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{0.25} = 0.5 \text{ mm}$. - Tamaño de la muestra: $n = 64$. - Media muestral: $\bar{x} = 20 \text{ mm}$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98$. 💡 **Tip:** No olvides que si te dan la varianza ($\sigma^2$), debes calcular la raíz cuadrada para obtener la desviación típica ($\sigma$), que es la que se usa en las fórmulas de inferencia.

Para obtener el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $98\%$ ($0.98$): 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\frac{\alpha}{2} = 0.01$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal $N(0, 1)$ que deja a su izquierda una probabilidad de $1 - \frac{\alpha}{2} = 0.99$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99$$ Mirando en la tabla de la distribución Normal: - $P(Z \le 2.32) = 0.9898$ - $P(Z \le 2.33) = 0.9901$ El valor más próximo es $0.9901$, por lo que tomamos: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$ 💡 **Tip:** En algunos exámenes se permite usar el valor exacto interpolado ($2.326$), pero habitualmente en Bachillerato se toma el valor más cercano de la tabla.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.33 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{64}} = 2.33 \cdot \frac{0.5}{8} = 2.33 \cdot 0.0625 = 0.145625$$ Ahora, construimos el intervalo de confianza $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (20 - 0.145625, 20 + 0.145625) = (19.854375, 20.145625)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (19.8544, 20.1456)}$$

**b) (1 punto) Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esa distribución para que la amplitud de un intervalo de confianza, con ese mismo nivel de confianza, sea inferior a 2 mm.** La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza es la distancia total entre sus extremos, es decir, el doble del error: $$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ El enunciado nos pide que la amplitud sea inferior a $2 \text{ mm}$ ($A \lt 2$) con el mismo nivel de confianza ($z_{\alpha/2} = 2.33$): $$2 \cdot 2.33 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{n}} \lt 2$$ Simplificamos la expresión dividiendo entre $2$ en ambos lados: $$2.33 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{n}} \lt 1 \implies \frac{1.165}{\sqrt{n}} \lt 1$$ 💡 **Tip:** Si el intervalo es $(\bar{x}-E, \bar{x}+E)$, su amplitud es $(\bar{x}+E) - (\bar{x}-E) = 2E$.

Despejamos $n$ de la inecuación: $$1.165 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$(1.165)^2 \lt n \implies 1.357225 \lt n$$ Dado que el tamaño de la muestra ($n$) debe ser un número entero y debe ser estrictamente mayor que $1.357225$, el primer número natural que cumple la condición es $n = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 2 \text{ tubos}}$$