Ecuaciones matriciales y potencias de matrices

**a) (1.25 puntos) Resuelva la ecuación $A \cdot X + B \cdot X = C$.** Primero, observamos que la matriz $X$ aparece multiplicando por la derecha en ambos sumandos del lado izquierdo. Podemos aplicar la propiedad distributiva para sacar factor común por la derecha: $$(A + B) \cdot X = C$$ Para despejar $X$, llamaremos $D = A + B$. La ecuación queda como $D \cdot X = C$. Si la matriz $D$ tiene inversa, podremos multiplicar por $D^{-1}$ por la **izquierda** en ambos miembros: $$D^{-1} \cdot D \cdot X = D^{-1} \cdot C \implies X = D^{-1} \cdot C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el orden en el producto de matrices es fundamental. Como $D$ multiplica a $X$ por la izquierda, su inversa $D^{-1}$ también debe multiplicar por la izquierda al otro lado del igual.

Calculamos $D = A + B$ sumando los elementos que ocupan la misma posición: $$D = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1 & -1+1 \\ 1+1 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Para ver si existe $D^{-1}$, calculamos su determinante: $$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 2) = 1 - 0 = 1$$ Como $|D| \neq 0$, la matriz $D$ es invertible. Calculamos su inversa usando la fórmula $D^{-1} = \frac{1}{|D|} \text{Adj}(D)^t$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(D)$: - $adj_{11} = 1$, $adj_{12} = -2$ - $adj_{21} = 0$, $adj_{22} = 1$ $$\text{Adj}(D) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Traspuesta de la adjunta: $$\text{Adj}(D)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Dividir por el determinante ($|D|=1$): $$D^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Ahora calculamos $X = D^{-1} \cdot C$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) = 2$; $(1 \cdot 1) + (0 \cdot 2) = 1$ - Fila 2: $(-2 \cdot 2) + (1 \cdot 3) = -4 + 3 = -1$; $(-2 \cdot 1) + (1 \cdot 2) = -2 + 2 = 0$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule $A^4$ y $A^{80}$.** Para calcular potencias altas, buscamos una regularidad o patrón. Empezamos calculando $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1) & (0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0) \\ (1 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Observamos que $A^2 = -I$, donde $I$ es la matriz identidad. Calculamos ahora $A^4$: $$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I$$ O también: $$A^4 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ ✅ **Resultado (primera parte):** $$\boxed{A^4 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $A^{80}$, utilizamos el resultado anterior. Como $A^4 = I$, cualquier potencia que sea múltiplo de 4 será igual a la identidad, ya que $I^n = I$. Dividimos el exponente 80 entre 4: $$80 = 4 \cdot 20$$ Por tanto: $$A^{80} = (A^4)^{20} = I^{20} = I$$ 💡 **Tip:** En potencias de matrices, siempre busca si llegas a la identidad $I$ o a la matriz nula, ya que eso simplifica enormemente los cálculos posteriores. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{A^4 = I, \quad A^{80} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$