Estudio de una función a trozos: gráfica, continuidad y derivabilidad

**a) (1.2 puntos) Represente gráficamente la función $f$.** Para representar esta función definida a trozos, analizamos cada una de sus tres ramas por separado: 1. **Rama 1:** $f(x) = 1$ si $x \le 0$. Es una función constante. Se trata de una semirrecta horizontal a la altura $y = 1$ que termina en el punto $(0, 1)$. 2. **Rama 2:** $f(x) = -x^2 + 1$ si $0 \lt x \lt 4$. Es una parábola convexa (forma de $\cap$). * Vértice: Como $b=0$, el vértice está en $x = 0$, $y = 1$. * Puntos de interés: Si $x \to 0$, $f(x) \to 1$. Si $x \to 4$, $f(x) \to -(4)^2 + 1 = -15$. 3. **Rama 3:** $f(x) = x^2 - 8x + 17$ si $x \ge 4$. Es una parábola cóncava (forma de $\cup$). * Vértice: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2} = 4$. * Ordenada del vértice: $f(4) = 4^2 - 8(4) + 17 = 16 - 32 + 17 = 1$. * Punto inicial: $(4, 1)$. 💡 **Tip:** Al representar funciones a trozos, fíjate bien si los extremos de los intervalos están incluidos ($\le, \ge$) o no ($\lt, \gt$) para dibujar puntos rellenos o vacíos. ✅ **Representación gráfica:**

**b) (0.8 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad.** Primero estudiamos la **continuidad**. Las funciones que componen cada trozo son polinómicas, por lo que son continuas en sus respectivos dominios. Debemos analizar qué ocurre en los puntos de salto entre ramas: $x = 0$ y $x = 4$. **En $x = 0$:** 1. $f(0) = 1$ 2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (1) = 1$ 3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (-x^2 + 1) = 1$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, **$f$ es continua en $x = 0$**. **En $x = 4$:** 1. $f(4) = 4^2 - 8(4) + 17 = 1$ 2. $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4} (-x^2 + 1) = -16 + 1 = -15$ 3. $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4} (x^2 - 8x + 17) = 1$ Como $\lim_{x \to 4^-} f(x) \neq \lim_{x \to 4^+} f(x)$, existe un salto finito de 16 unidades. ✅ **Resultado (continuidad):** $$\boxed{\text{f es continua en } \mathbb{R} \setminus \{4\}. \text{ En } x=4 \text{ presenta una discontinuidad de salto finito.}}$$

Para estudiar la **derivabilidad**, calculamos primero la función derivada en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \lt 0 \\ -2x & \text{si } 0 \lt x \lt 4 \\ 2x - 8 & \text{si } x \gt 4 \end{cases}$$ **En $x = 0$:** - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = 0$ - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = -2(0) = 0$ Como $f'(0^-) = f'(0^+)$ y la función es continua en $x=0$, **$f$ es derivable en $x = 0$**. **En $x = 4$:** Como la función no es continua en $x = 4$, **no puede ser derivable** en dicho punto (la continuidad es condición necesaria para la derivabilidad). 💡 **Tip:** Si una función es discontinua en un punto, automáticamente no es derivable allí. No hace falta comprobar las derivadas laterales. ✅ **Resultado (derivabilidad):** $$\boxed{\text{f es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{4\}}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule $f'(1)$ y $f'(5)$.** Utilizamos la expresión de la función derivada hallada anteriormente: $$f'(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \lt 0 \\ -2x & \text{si } 0 \lt x \lt 4 \\ 2x - 8 & \text{si } x \gt 4 \end{cases}$$ 1. **Para $f'(1)$:** El valor $x = 1$ pertenece al intervalo $0 \lt x \lt 4$, por lo que aplicamos la segunda rama: $$f'(1) = -2(1) = -2$$ 2. **Para $f'(5)$:** El valor $x = 5$ pertenece al intervalo $x \gt 4$, por lo que aplicamos la tercera rama: $$f'(5) = 2(5) - 8 = 10 - 8 = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f'(1) = -2, \quad f'(5) = 2}$$