Probabilidad: Suma de dados y sucesos incompatibles

**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de sus puntuaciones sea un múltiplo de 4.** Al lanzar dos dados equilibrados de seis caras, el número total de resultados posibles (casos posibles) viene dado por el producto de las caras de cada dado: $$6 \times 6 = 36$$ Definimos el suceso $S$ como "la suma de las puntuaciones es múltiplo de 4". Los múltiplos de 4 posibles al sumar dos dados (que van del 2 al 12) son el **4, el 8 y el 12**. 💡 **Tip:** En experimentos con dos dados, siempre hay $6^2 = 36$ combinaciones posibles. Es muy útil visualizarlo como una tabla de doble entrada.

Buscamos las combinaciones $(dado_1, dado_2)$ cuya suma sea 4, 8 o 12: * **Suma = 4:** $(1,3), (2,2), (3,1)$ $\rightarrow$ **3 casos** * **Suma = 8:** $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ $\rightarrow$ **5 casos** * **Suma = 12:** $(6,6)$ $\rightarrow$ **1 caso** Sumamos todos los casos favorables: $$nº\,Casos\,favorables = 3 + 5 + 1 = 9$$ Podemos verlo en la siguiente tabla de sumas: $$ \begin{array}{c|cccccc} + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & \mathbf{4} & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & \mathbf{4} & 5 & 6 & 7 & \mathbf{8} \\ 3 & \mathbf{4} & 5 & 6 & 7 & \mathbf{8} & 9 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & \mathbf{8} & 9 & 10 \\ 5 & 6 & 7 & \mathbf{8} & 9 & 10 & 11 \\ 6 & 7 & \mathbf{8} & 9 & 10 & 11 & \mathbf{12} \end{array} $$

Aplicamos la Regla de Laplace: $$P(S) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{9}{36}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 9: $$P(S) = \frac{1}{4} = 0.25$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{múltiplo de 4}) = 0.25}$$ 💡 **Tip:** Recuerda simplificar siempre las fracciones para dar el resultado final de la forma más elegante posible.

**b) (1 punto) De un experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades: $P(A^C) = 0.8, P(B^C) = 0.7, P(A \cup B) = 0.5$. ¿Son $A$ y $B$ incompatibles?** Primero, calculamos las probabilidades de los sucesos $A$ y $B$ utilizando la propiedad del suceso contrario: $$P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - 0.8 = 0.2$$ $$P(B) = 1 - P(B^C) = 1 - 0.7 = 0.3$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de un suceso más la de su contrario siempre suma 1: $P(A) + P(A^C) = 1$.

Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos para despejar $P(A \cap B)$: $$0.5 = 0.2 + 0.3 - P(A \cap B)$$ $$0.5 = 0.5 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 0.5 - 0.5 = 0$$ 💡 **Tip:** Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, lo que matemáticamente significa que su intersección es el conjunto vacío y su probabilidad es cero.

Por definición, dos sucesos $A$ y $B$ son **incompatibles** si su intersección es el suceso imposible, es decir: $$P(A \cap B) = 0$$ Como en nuestro cálculo hemos obtenido que $P(A \cap B) = 0$, podemos afirmar que los sucesos son incompatibles. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, } A \text{ y } B \text{ son incompatibles porque } P(A \cap B) = 0}$$