Contraste de hipótesis para la media

**El servicio de atención al cliente de una empresa funciona eficazmente si el tiempo medio de atención es inferior o igual a 7 minutos. Se toma una muestra de 36 clientes atendidos y se observa que el tiempo medio es de 8 minutos. Suponiendo que el tiempo empleado en atender a un cliente sigue una distribución Normal con varianza 16, plantee un contraste de hipótesis $(H_0 : \mu \le 7)$, con un nivel de significación de 0.05, determine la región crítica de este contraste y razone si se puede aceptar que ese servicio funciona de forma eficaz.** Primero, extraemos los datos del enunciado para organizar la información: - Media poblacional bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 7$ minutos. - Tamaño de la muestra: $n = 36$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 8$ minutos. - Varianza poblacional: $\sigma^2 = 16$. Por tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{16} = 4$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$. Planteamos el contraste de hipótesis: - Hipótesis nula ($H_0$): El servicio es eficaz, $\mu \le 7$. - Hipótesis alternativa ($H_1$): El servicio no es eficaz, $\mu \gt 7$. 💡 **Tip:** El contraste es unilateral de una sola cola (derecha), ya que sospechamos que el tiempo es mayor que el límite establecido. $$\boxed{H_0: \mu \le 7; \quad H_1: \mu \gt 7}$$

Para realizar el contraste, necesitamos conocer cómo se distribuyen las medias de las muestras de tamaño $n=36$. Sabemos que si la población sigue una normal $N(\mu, \sigma)$, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ Bajo el supuesto de que $\mu = 7$ (límite de la hipótesis nula): $$\bar{X} \sim N(7, \, 0.6667)$$

Como el nivel de significación es $\alpha = 0.05$ y es un contraste unilateral derecho, buscamos el valor de $z_{\alpha}$ tal que la probabilidad a su derecha sea $0.05$. $$P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.05 \implies P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.05 = 0.95$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$ el valor que deja una probabilidad acumulada de $0.95$, encontramos que: $$\boxed{z_{\alpha} = 1.645}$$ 💡 **Tip:** Si no encuentras el valor exacto en la tabla, suele estar entre $1.64$ y $1.65$. En selectividad se acepta usar $1.645$ como valor preciso.

La región crítica es el conjunto de valores de la media muestral $\bar{x}$ que nos llevan a rechazar $H_0$. Para un contraste unilateral derecho, la región crítica es: $$RC = (\bar{x}_c, \, +\infty)$$ Calculamos el valor crítico de la media $\bar{x}_c$: $$\bar{x}_c = \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$\bar{x}_c = 7 + 1.645 \cdot \frac{4}{6}$$ $$\bar{x}_c = 7 + 1.645 \cdot 0.6667 = 7 + 1.0967 = 8.0967$$ Por tanto, la región crítica es: $$\boxed{RC = (8.0967, \, +\infty)}$$

Ahora comparamos el valor de la media obtenida en nuestra muestra ($\bar{x} = 8$) con la región crítica. Observamos que: $$8 \le 8.0967$$ O lo que es lo mismo: $$8 \notin (8.0967, \, +\infty)$$ Como el valor de la muestra **no cae dentro de la región crítica**, no tenemos evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula $H_0$. ✅ **Conclusión:** Se acepta $H_0$. Por lo tanto, con un nivel de significación del $5\%$, se puede concluir que el servicio de atención al cliente **funciona de forma eficaz**.