Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1 punto) Dibuje el recinto del plano determinado por estas inecuaciones.** Para representar el recinto, primero convertimos cada inecuación en una recta para encontrar sus fronteras: 1. **Recta $r_1$:** $x - 3y = 8$. Si $x=0 \implies y = -8/3 \approx -2.67$. Si $y=0 \implies x=8$. Puntos: $(0, -2.67)$ y $(8, 0)$. Como es $x-3y \le 8$, el semiplano es el que contiene al origen $(0,0)$ porque $0 \le 8$. 2. **Recta $r_2$:** $3x + 2y = 15$. Si $x=0 \implies y = 7.5$. Si $y=0 \implies x=5$. Puntos: $(0, 7.5)$ y $(5, 0)$. Como es $\ge 15$, el semiplano no contiene al origen porque $0 \not\ge 15$. 3. **Recta $r_3$:** $x + 3y = 12$. Si $x=0 \implies y = 4$. Si $y=0 \implies x=12$. Puntos: $(0, 4)$ y $(12, 0)$. Como es $\le 12$, el semiplano contiene al origen porque $0 \le 12$. 4. **Restricciones de no negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ limitan la región al **primer cuadrante**. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta sombrear, toma el punto $(0,0)$ y sustituye en la inecuación. Si se cumple, el área sombreada es donde está el origen. La intersección de estos semiplanos define el recinto o región factible.

**b) (1 punto) Determine los vértices de este recinto.** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan en las esquinas de la región factible: * **Vértice A ($r_2 \cap r_3$):** $$\begin{cases} 3x + 2y = 15 \\ x + 3y = 12 \implies x = 12 - 3y \end{cases}$$ Sustituyendo: $3(12 - 3y) + 2y = 15 \implies 36 - 9y + 2y = 15 \implies -7y = -21 \implies \mathbf{y = 3}$. Luego, $x = 12 - 3(3) = 3$. Punto **$A(3, 3)$**. * **Vértice B ($r_1 \cap r_3$):** $$\begin{cases} x - 3y = 8 \\ x + 3y = 12 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $2x = 20 \implies \mathbf{x = 10}$. Sustituyendo: $10 + 3y = 12 \implies 3y = 2 \implies \mathbf{y = 2/3}$. Punto **$B(10, 2/3)$**. * **Vértice C ($r_1 \cap \text{eje } X$):** $$\begin{cases} x - 3y = 8 \\ y = 0 \end{cases} \implies \mathbf{x = 8}$. Punto **$C(8, 0)$**. * **Vértice D ($r_2 \cap \text{eje } X$):** $$\begin{cases} 3x + 2y = 15 \\ y = 0 \end{cases} \implies 3x = 15 \implies \mathbf{x = 5}$. Punto **$D(5, 0)$**. 💡 **Tip:** Comprueba siempre que los puntos obtenidos cumplen todas las inecuaciones originales para asegurar que están en la región factible. ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(3, 3), B(10, 2/3), C(8, 0), D(5, 0)}$$

**c) (0.5 puntos) Maximice la función $F(x, y) = 5x + 9y$ en este recinto, indicando el punto o puntos donde se alcanza ese máximo.** Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = 5x + 9y$ en cada uno de los vértices hallados: * En $A(3, 3)$: $F(3, 3) = 5(3) + 9(3) = 15 + 27 = 42$. * En $B(10, 2/3)$: $F(10, 2/3) = 5(10) + 9(2/3) = 50 + 6 = 56$. * En $C(8, 0)$: $F(8, 0) = 5(8) + 9(0) = 40 + 0 = 40$. * En $D(5, 0)$: $F(5, 0) = 5(5) + 9(0) = 25 + 0 = 25$. El valor máximo es **56** y se alcanza en el vértice $B$. 💡 **Tip:** En programación lineal, si el recinto es acotado, el máximo o mínimo siempre se encontrará en uno de los vértices (o en un segmento entre dos vértices si hay soluciones infinitas). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El máximo es } 56 \text{ y se alcanza en el punto } B(10, 2/3)}$$