Estudio completo de una función polinómica

**a) (1.3 puntos) Halle el máximo, el mínimo y el punto de inflexión de la función.** Para estudiar los extremos (máximos y mínimos) y la curvatura de la función, primero calculamos sus derivadas. Al ser una función polinómica, su dominio es $\mathbb{R}$ y es derivable en todo su dominio. Derivamos $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$ Derivamos de nuevo para obtener la segunda derivada: $$f''(x) = 6x - 4$$ Para hallar los candidatos a **máximo o mínimo**, igualamos la primera derivada a cero: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}$$ Esto nos da dos soluciones: $x_1 = \frac{6}{6} = 1$ $x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 💡 **Tip:** Los puntos donde $f'(x)=0$ se llaman puntos críticos. Para saber si son máximos o mínimos podemos usar la tabla de signos o la segunda derivada.

Estudiamos el signo de la primera derivada en los intervalos definidos por los puntos críticos $x = 1/3$ y $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1/3) & 1/3 & (1/3, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \text{Comportamiento} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de estos puntos: - Para $x = 1/3$: $f(1/3) = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + 1/3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1 - 6 + 9}{27} = \frac{4}{27}$ - Para $x = 1$: $f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 0$ ✅ **Resultado (Máximo y Mínimo):** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{27}\right), \quad \text{Mínimo relativo: } (1, 0)}$$

Para hallar el **punto de inflexión**, buscamos donde la segunda derivada se anula y cambia de signo: $$f''(x) = 0 \implies 6x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ alrededor de $x = 2/3$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2/3) & 2/3 & (2/3, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava } (\cap) & \text{P. Inflexión} & \text{Convexa } (\cup) \end{array}$$ Calculamos la ordenada del punto de inflexión: $f(2/3) = (2/3)^3 - 2(2/3)^2 + 2/3 = \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{2}{3} = \frac{8 - 24 + 18}{27} = \frac{2}{27}$ ✅ **Resultado (Punto de Inflexión):** $$\boxed{\text{Punto de Inflexión: } \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{27}\right)}$$

**b) (0.6 puntos) Calcule los puntos de corte con los ejes.** **Corte con el eje OY (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$: $$f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 = 0 \implies \text{Punto } (0, 0)$$ **Corte con el eje OX (eje de abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$: $$x^3 - 2x^2 + x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 2x + 1) = 0$$ $x = 0$ o $x^2 - 2x + 1 = 0$. La ecuación de segundo grado es un producto notable: $(x-1)^2 = 0$, por lo que $x = 1$ (doble). 💡 **Tip:** Si una raíz es doble en el eje OX, la función es tangente a ese eje en ese punto (es un extremo relativo). ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{\text{Corte eje OY: } (0, 0); \quad \text{Cortes eje OX: } (0, 0) \text{ y } (1, 0)}$$

**c) (0.6 puntos) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisas $x = 0$ y $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ **En $x = 0$:** - Punto: $f(0) = 0$. - Pendiente: $f'(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$. - Ecuación: $y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x$ **En $x = 1$:** - Punto: $f(1) = 0$. - Pendiente: $f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 1 = 0$. - Ecuación: $y - 0 = 0(x - 1) \implies y = 0$ (Recta horizontal) ✅ **Resultado (Rectas tangentes):** $$\boxed{\text{Recta en } x=0: y = x, \quad \text{Recta en } x=1: y = 0}$$